Спрямляемые кривые. Формула для длины гладкой кривой. Естественная параметризация регулярной кривой. Кривизна и кручение. Формулы Френе.


266001566040
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
3070860118110
Школа естественных наук ДВФУ
«УТВЕРЖДАЮ»
Заведующий кафедрой информатики, матем. и компьютерного моделирования
______________ А.Ю. Чеботарев
«22» июня 2012 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТОПОЛОГИИ
010500.62 «прикладная математика и информатика»
Форма подготовки очная
Школа естественных наук ДВФУ
Кафедра алгебры, геометрии и анализа
Курс 4 , семестр 8
Лекции - 36 час.
Практические занятия - 18 час.
Семинарские занятия -0 час.
Лабораторные работы -0 час.
Самостоятельная работа – 46 час.
Всего часов аудиторной нагрузки - 54 часа
Реферативные работы не предусмотрены
Контрольные работы не предусмотрены
Экзамен: 8 семестр
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования 200 ен/бак от 23 марта 2000 г
Учебно-методический комплекс дисциплины обсужден на заседании кафедры 16 мая 2012 г.
Заведующая кафедрой алгебры, геометрии и анализа Р.П. Шепелева
Составитель профессор кафедры Г.К. Пак

АННОТАЦИЯ
УМК по дисциплине «Дополнительные главы топологии» для направления 010500.62 –«прикладная математика и информатика» соответствует рабочей программе дисциплины и требованиям ГОС ВПО.
Изучаемая дисциплина формирует основные компетенции специалиста в области математики.
УМК, предназначенный для организации учебной работы по дисциплине, содержит основной теоретический материал, маршрутную схему изучения и путеводитель по темам дисциплины, задания для самостоятельной работы и рекомендации по их выполнению, описание контрольных работ с методическими указаниями, глоссарий, каталог образовательных ресурсов в сети Интернет, средства педагогического контроля.
Целью изучения дисциплины является развитие логического и алгоритмического мышления. Привить навыки математического исследования социальных, технических, экономических и других проблем науки и производства, умение мыслить научными категориями в области науки, техники, экономики и социальной сферы. Студент должен овладеть основными вычислительными навыками, необходимыми для решения задач теории множеств, алгебры, геометрии и программирования, ознакомиться с современным языком математики. Получить навыки применения полученных знаний при изучении явлений природы и общества и исследование простейших моделей с помощью методов теории групп, колец и полей, гомологической алгебры и топологии.
Полученные навыки по курсу в дальнейшем будут использоваться при изучении таких дисциплин как Математический анализ, ТФКП, ФА, теория вероятностей.

26790655715
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
3147060130175
Школа естественных наук ДВФУ
«УТВЕРЖДАЮ»
Заведующий кафедрой информатики, матем. и компьютерного моделирования
______________ А.Ю. Чеботарев
«22» июня 2012 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТОПОЛОГИИ
010500.62 «прикладная математика и информатика»
Форма подготовки очная
Школа естественных наук ДВФУ
Кафедра алгебры, геометрии и анализа
Курс 4 , семестр 8
Лекции - 36 час.
Практические занятия - 18 час.
Семинарские занятия -0 час.
Лабораторные работы -0 час.
Самостоятельная работа –46 час.
Всего часов аудиторной нагрузки - 54 часа
Реферативные работы не предусмотрены
Контрольные работы не предусмотрены
Экзамен: 8 семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования 200 ен/бак от 23 марта 2000 г
Заведующая кафедрой алгебры, геометрии и анализа Р.П. Шепелева
Составитель профессор кафедры алгебры, геометрии и анализа Г.К. Пак

Раздел 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
Цель преподавания дисциплины –.введение в такие современные разделы математики, как алгебраическая и дифференциальная топология, тензорный анализ, а с другой — ознакомить с методами, применяющимися в дальнейшем при изучении физики, механики, дифференциальных уравнений, математического анализа.
Задачи изучения дисциплины - овладение студентами аппаратом топологии, приобретение базы, необходимой для изучения математических, естественнонаучных, информационных и специальных дисциплин.
В результате теоретического изучения дисциплины студент должен знать:
фундаментальные понятия топологии;
основные аналитические методы исследования.
В результате практического изучения дисциплины студент должен уметь:
использовать при решении экономических, управленческих и производственных задач топологические аспекты:
решать основные типы задач теории множеств, топологии, гомологической алгебры
Для изучения данной дисциплины необходимо усвоение курса математического анализа в объеме двух семестров, и стандартных университетских курсов аналитической геометрии и линейной алгебры.
Предполагается, что студенты освоят основные факты и приемы изучения дифференцируемых кривых и поверхностей в 3-х мерном пространстве, овладеют методом дифференциальных форм, основными методами и понятиями общей топологии и познакомятся с теорией гомологий, либо с теорией гладких многообразий.
Содержание дисциплины
№ пп Тема Содержание
Лекций Семинары Самост. Раб
1 2 3 4 5 6
1 Вектор-функции одной и двух переменных Параметризованные кривые Общее понятие вектор-функции, связь вектор-функции и функции со значением в эвклидовом пространстве. Дифференцирование и интегрирование вектор-функций. Координатные функции.
Задание параметризованных кривых вектор-функциями. Вектор скорости и касательная. Угол между кривыми в точке пересечения. Длина кривой, как супремум длин вписанных ломаных. Формула длины дифференцируемой кривой. Естественная параметризация кривой. 4 2 6
2 Формулы Френе. Поверхности в 3-х мерном эвклидовом пространстве Кривизна и кручение кривой. Базис Френе. Условия тождественного равенства нулю кривизны, кручения.
Элементарные области на плоскости. Элементарные поверхности, поверхности, локальные параметризации, дифференцируемые и гладкие параметризации и поверхности. График дифференцируемой функции, как гладкая элементарная поверхность. Локальное представление гладкой поверхности в виде графика функции. 4 2 6
3 Касательное пространство к поверхности Касательные векторы к поверхности. Описание касательного пространства в неособой точке поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормальной прямой. Задание квадратичной формы на касательном пространстве. 1-я основная (метрическая) форма поверхности, коэффициенты метрической формы. Вычисление длины кривой на поверхности, угла между кривыми. 4 2 6
4 Теорема Гаусса Деривационные формулы. Теорема Гаусса.
4 2 4
5 Вторая основная форма поверхности Нормальная кривизна кривой на поверхности. Проекция вектора скорости кривой на нормаль к поверхности. Коэффициенты 2-й основной формы и ее независимость от выбора параметризации. Теорема Менье. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении. Главные направления и главные кривизны. Теорема Эйлера. Гауссова и средняя кривизны. Нахождение главных направлений и главных кривизн. 4 2 4
6
Элементы внутренней геометрии поверхностей Критерий изометричности. Неизометричность области на сфере и области на плоскости. Геодезическая кривизна. Геодезические на поверхностях. Теорема Гаусса-Бонне.
4 2 4
7 Дифференцируемые многообразия и дифференциальные формы Карты, атласы, дифференцирумые структуры. Топология на многообразии. Сферы, проективные пространства. Функции на многообразиях. Касательное пространство к многообразию в точке. Тензоры типа (p,q). Дифференциальные формы. Комплекс де Рама. Когомологии де Рама. Нетривиальность когомологий де Рама выколотой плоскости.
4 2 4
8 Основные понятия общей топологии Определения и примеры топологических пространств. Метрическая и эвклидова топологии. Открытые и замкнутые множества. Внутренние точки, точки прикосновения, предельные точки. Замыкание, внутренность, граница. База топологии и фундаментальные системы окрестностей точек. Непрерывность и пределы отображений. Свойства пределов и критерий непрерывности.
2 2 4
9 Топологические свойства и конструкции Аксиомы отделимости. Связность, линейная связность, компоненты связности. Связные подмножества R. Компактные пространства. Произведение топологических пространств. Вещественные функции на топологических пространствах. Фактортопология и склеивание.
2 1 4
10 Гомологические методы Симплексы, симплициальные комплексы, триангуляции. Точные последовательности, комплексы и гомологии. Функториальные свойства гомологий. Теорема о неподвижной точке. 4 2 4

27584401270
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)

Школа естественных наук ДВФУ
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
по дисциплине
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТОПОЛОГИИ
010500.62 «прикладная математика и информатика»

ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Операции над множествами
Диаграммный поиск
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Вектор-функция и ее свойства. Дифференцирование вектор-функций.
Представление о линии. Кривые в эвклидовом пространстве.
Длина дуги кривой. Угол между кривыми. Естественная параметризация. Формулы Френе.
Элементарная поверхность. Метрическая форма поверхности.
2-я основная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении.
Вычисление главных направлений и главных кривизн.
Контрольная работа на вычисление главных направлений и главных кривизн.
Операции над дифференциальными формами.
Задание топологии на множестве.
Расположение точек относительно множества.
Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.
Аксиомы отделимости.
Связность и линейная связность.
Компактность.
Произведение топологических пространств.
Фактортопология и склеивание.
Вычисление групп гомологий симплициального комплекса.
Контрольная работа на вычисление групп гомологий.
Вопросы для самоподготовки
Связь между производными вектор-функции и ее координатных функций.
Производная вектор-функции. Дифференцирование скалярного и векторного произведений.
Интегрирование вектор-функции. Неравенство
Первообразная вектор-функции. Формулы интегрирования по частям.
Кривые. Вектор скорости и касательная к кривой.
Спрямляемые кривые. Формула для длины гладкой кривой.
Естественная параметризация регулярной кривой.
Кривизна и кручение. Формулы Френе.
Геометрический смысл тождественного равенства 0 кривизны или кручения кривой.
Векторы главной нормали и бинормали. Формулы Френе. Соприкасающаяся и нормальная плоскости.
Элементарная поверхность. График функции 2 переменных, как элементарная поверхность.
Касательный вектор к поверхности. Двумерность касательного пространства.
Касательный вектор и касательная плоскость к поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормальной прямой.
Первая основная (метрическая) форма поверхности. Коэффициенты первой основной формы.
Угол между кривыми и длина кривой на поверхности.
Нормальная кривизна поверхности. Лемма о проекции вектора ускорения на нормаль к поверхности.
2-я основная форма поверхности. Независимость 2-й основной формы от выбора параметризации.
2-я основная форма поверхности. Формула для нахождения нормальной кривизны кривой.
Нормальная кривизна поверхности в данной точке в данном направлении. Ее вычисление через 2-ю основную форму. Теорема Менье.
Главные кривизны и главные направления. Теорема Эйлера.
Гауссова и средняя кривизны. Формула для нахождения Гауссовой кривизны.
Деривационные формулы.
Теорема Гаусса.
Изометрия. Неизометричность области на плоскости и области на сфере.
Геодезическая кривизна. Определение и свойство геодезической.
Существование и единственность геодезической в данном направлении.
Теорема Гаусса-Бонне.
Карты и атласы. Функции перехода. Понятие гладкого многообразия. Открытые подмножества многообразия.
Карты и атласы. Функции перехода. Вещественное проективное пространств.
Карты и атласы. Функции перехода. Гладкие функции на многообразии.
Двумерная поверхность, как многообразие.
N-мерная сфера, как многообразие.
Тензоры на многообразии. Первая основная форма поверхности, касательный вектор и градиент, как тензоры.
Сумма и тензорное произведение тензоров. Алгебраические свойства. Некоммутативность тензорного произведения.
Базисные векторы и ковекторы. Размерность пространства векторов и ковекторов.
Базис пространства тензоров типа (k,l).
Дифференциальные формы. Базисные формы степени k, их свойства.
Внешнее произведение дифференциальных форм. Алгебраические свойства.
Внешний дифференциал. Дифференцирование суммы и произведения форм.
Замкнутые и точные формы. Замкнутость точных форм.
Обратный образ дифференциальной формы. Алгебраические свойства.
Комплексы и точные последовательности. Группы гомологий.
Комплекс Дерама и когомологии Дерама. Нетривиальность когомологий Дерама выколотой плоскости.
Оператор дифференцирования функций в точке. Свойства.
Вектор как оператор дифференцирования.
Оператор дифференцирования, как вектор.
Примерные вопросы для подготовки к коллоквиумам
1.Основные теоретико-множественные операции и соотношения.
2.Определение топологического пространства. Примеры. Пересечение бесконечного числа открытых множеств.
3.Замкнутые множества топологического пространства. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств.
4.Хаусдорфовы пространства. Топология на метрическом пространстве.
5.Относительно открытые и относительно замкнутые множества. Индуцированная топология на подмножестве топологического пространства.
6.Определение окрестности, внутренней точки, точки прикосновения, внутренности, замыкания. Примеры точек разных типов. Свойства окрестностей. Окрестности в индуцированной топологии.
7.Свойства внутренности, замыкания, границы.
8.Связь фундаментальных систем окрестностей и баз топологии.
9.Условия, при которых данная система подмножеств может служить базой некоторой топологии.
10.Необходимое и достаточное условие того, чтобы данная система открытых подмножеств была базой топологического пространства.
11.Характеризация точек прикосновения с помощью последовательностей в пространстве с первой аксиомой счетности.
12.Точки прикосновения, предельные, внутренние точки, окрестности в метрическом пространстве.
13.Определение предела и непрерывности. Связь этих понятий.
14.Критерии непрерывности в точке отображения топологических пространств.
15.Критерии непрерывности отображения топологических пространств.
16.Критерии непрерывности отображения в метрическое пространство и из метрического пространства.
17.Непрерывность композиции.
18.Непрерывность суммы, произведения на число, скалярного и векторного произведений при отображении из топологического пространства в евклидово.
19.Непрерывность отображения и его координатных функций. Непрерывность линейного отображения.
20.Определение и теорема о существовании произведения топологических пространств.
21.Пространство Rn , как произведение n экземпляров вещественной прямой.
22.Покрытия, вписанные системы векторов. Леммы о вписанности.
23.Компактные подмножества топологического пространства. Компактность замкнутого и замкнутость компактного подмножеств.
24.Компактность объединения и компактность непрерывного образа компактных множеств.
25.Замкнутость и ограниченность компактного подмножества метрического пространства.
26.Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений функции на компактном подмножестве топологического пространства.
27.Гомеоморфность, как отношение эквивалентности на классе всех топологических пространств.
28.Гомеоморфность непрерывного биективного отображения компакта. Пример биективного непрерывного отображения на компакт, не являющегося гомеоморфизмом.
29.Выпуклые множества. Описание выпуклой оболочки.
30.Критерии независимости точек в линейном пространстве.
31.Барицентрические координаты точки в плоскости, натянутой на несколько независимых точек.
32.Симплексы, грани симплекса. Характеристика точек симплекса и его граней через барицентрические координаты.
33.Теорема о гомеоморфности компактного множества шару, а его границы - сфере.
34.Теорема о гомеоморфности шару компактного выпуклого множества.
35.Описание внутренних точек симплекса. Гомеоморфность симплекса шару.
36.Симплициальные комплексы и полиэдры. Шар и сфера, как полиэдры. Другие примеры комплексов и полиэдров.
37.Подкомплексы. Лемма о разбиении комплекса в объединение непересекающихся подкомплексов.
38.Связные подмножества топологического пространства. критерии связности.
39.Связность объединения семейства связных множеств с непустым пересечением.
40.Связанность точек топологического пространства и связные компоненты.
41.Связанность непрерывного образа связного множества.
42.Описание связных подмножеств вещественной прямой.
43.Линейная связанность точек и компоненты линейной связности.
44.Связность линейно связного множества. Пример связного не линейно связного множества.
45.Связанность вершин симплициального комплекса и связность его тела.
46.Ориентированные цепи симплициального комплекса. Граничный оператор. Лемма о граничном операторе цепи вида .
47.Циклы и границы. Основное свойство граничного оператора. Определение групп гомологий.
48.Вычисление (n-1)-мерных групп гомологий симплекса и его границы.
49.Гомологический критерий связанности вершин симплициального комплекса.
50.Гомологический критерий связности полиэдра.
51.Основные свойства групп гомологий.
52.Теорема о неподвижной точке.

271081520955
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)

Школа естественных наук ДВФУ
Литература
по дисциплине
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТОПОЛОГИИ
010500.62 «прикладная математика и информатика»

Основная
Горева Г.А. Предельные переходы и топологии: Методические указания для студентов математического факультета. - Иваново: Ивановский гос. ун-т, 2005. - 44 с.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию.M.: Наука, 2010.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементытеории функций и функционального анализа. M.: Наука, 2009.
Шаров Г.С., Шелехов А.М., Шестакова М.А. Задачи по дифференциальной геометрии и топологии. Учебное пособие, Тверь, ТвГУ, 2004. 112 с.
Дополнительная
Новиков С.П., Фоменко А.Т.Элементы дифференциальной геометрии и топологии. M.:Наука, физ.-мат., 1987. 432 с.
Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. M.:Наука, физ.-мат., 1986. 480 с.
Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, физ.-мат., 1974. 176 с.
Келли Дж. Л. Общая топология. М.:Наука, физ.-мат., 1968. 384 с.
Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. А.С. Феденко. М.: Наука, физ.-мат., 1979. 272 с.
Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геом етрия. M.:Наука, физ.-мат., 1986. 760 с.
Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы теории гомологий. M.:Наука, физ.-мат., 1984. 344 с.
Энгелькинг Р. Общая топология. М.:Мир. 1983.
Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. М.: Наука, физ.-мат. 1979. 312 с.
Хилтон П. Дж., Уайли С. Теория гомологий. М.: Мир. 1966. 452 с.
Интернет-ресурсы
1. http://window.edu.ru/resource/590/52590 Горева Г.А. Предельные переходы и топологии: Методические указания для студентов математического факультета. - Иваново: Ивановский гос. ун-т, 2005. - 44 с.
2. http://window.edu.ru/resource/051/53051 Гумеров Р.Н. Элементы общей топологии: Учебно-методическое пособие. - Казань: Изд-во КГУ, 2007. - 90 с.
3. http://znanium.com/bookread.php?book=410678 Федорчук, В. В. Общая топология. Основные конструкции [Электронный ресурс] : Учеб. пособие / В. В. Федорчук, В. В. Филиппов. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 336 с.
4. http://window.edu.ru/resource/911/27911 Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. - М.: МЦНМО, 2004. - 352 с.
5. http://znanium.com/bookread.php?book=410891 Задачи по дифференциальной геометрии, Э. Р. Розендорн. - 3-е изд., испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 144 с

Приложенные файлы

  • docx 82292593
    Размер файла: 776 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий