2. Вариационное исчисление. Примеры задач вариационного исчисления. Задача о брахистохроне, задача о геодезических линиях, задача Дидоны.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Электронный учебно
-
методический комплекс

«Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление»


Авторы:

Профессор кафедры ММ А.А. Амосов
,

Доцент кафедры ММ В.П. Григорьев

Направление

подготовки:

010400
Прикладная математика и информатика
,

п
рофили
:

Матема
тическое и программное обеспечение
вычислительных машин и компьютерных сетей
;

Математическое моделирование

Дисциплина:

Дифференциальные уравнения

и вариационное исчисление

(4
семестр)

Адрес ресурса:


Контактная
информация:

Почтовые электронные адреса
авторов ресурса, по которому можно
получить дополнительную информацию, приобрести ресурс или
заключить договор об его использовании:
AmosovAA
@
mpei
.
ru



Виды занятий, поддерживаемые ресурсом


Лекции
2

час
а

в неделю, практические занятия 2 час
а

в неделю
.

Са
мостоятельная
работа
72 часа
.


Состав ресурса


1. Рабочая программа учебной дисциплины.

2. Технологическая карта работы студента по дисциплине.

3. Конспект лекций.

4. Методические указания по проведению практических занятий.

5
. Контролирующие материалы в с
оответствии с рабочей программой дисциплины:
вопросы контрольных работ, домашние задания, вопросы и задачи, выносимые на зачет и
экзамен, экзаменационные билеты.

6
. Дополнительные материалы.


Содержание ресурса


Лекции


1. Краевые задачи.

Постановки краев
ых задач для дифференциального уравнения второго порядка.
Тождество Лагранжа. Формула Грина.

Неоднородная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка.
Достаточные условия единственности решения.

Функция Грина. Существование и единственн
ость функции Грина. Представление
решения с использованием функции Грина. Физический смысл функции Грина.

Первая краевая задача. Принцип максимума. Теоремы сравнения. Априорная оценка
решения первой краевой задачи.

Задача Штурма
-
Лиувилля. Свойства собстве
нных функций и собственных значений.

Матричная экспонента. Формула Коши.

Разрешимость двухточечной краевой задачи для системы линейных
дифференциальных уравнений.


2. Вариационное исчисление.


Примеры задач вариационного исчисления. Задача о брахистохроне,

задача о
геодезических линиях, задача Дидоны.

Функционалы. Сильная и слабая дифференцируемость функционалов. Задачи об
отыскании экстремумов функционала. Необходимое условие локального экстремума.
Дифференцируемость простейшего функционала вариационног
о исчисления
.

Основная лемма вариационного исчисления. Лемма Дюбуа
--
Реймона. Задача со
закрепленными концами для функционала

(простейшая задача
вариационного исчисления). Уравнение Эйлера.

Некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Решение задачи о
брахистохроне. Задача о наименьшей поверхности вращения.

Задача с свободными концами. Естественные граничные условия. Задача с
подвижными концами. Условие трансверсальности. Зад
ача Больца.

Функционалы вида
. Необходимые условия экстремума.

Функционалы вида


Необходимые условия экстремума.

Вторая вариация функционала. Необходимое условие экстремума в терминах второй
вариаци
и. Условие Лежандра.

Классические достаточные условия экстремума для простейшей задачи вариационного
исчисления. Усиленные условия Лежандра. Усиленные условия Якоби. Теорема о
достаточных условиях экстремума простейшей задачи вариационного исчисления.

Абс
трактная изопериметрическая задача. Необходимое условие экстремума.

Классическая изопериметрическая задача. Необходимое условие экстремума. Задача
Дидоны.

Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные и неголономные связи.

Задача о геодезических ли
ниях. Геодезические линии на сфере.


Практические занятия


1
-
2. Краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка. Краевые
условия первого, второго и третьего рода.

3.

3. Функция Грина. Представление решения с помощью функции Грина.

4.

Принцип макси
мума.

5.

Задача Штурма
-
Лиувилля. Собственные значения и собственные функции.

6.

Матричная экспонента. Формула Коши. Решение краевых задач для систем
линейных дифференциальных уравнений.

7.

Функционалы. Сильная и слабая дифференцируемость функционалов.

8.

Экстремумы

функционалов. Необходимое условие локального экстремума.

9.

Основная лемма вариационного исчисления. Функционалы вида
. Задача с закрепленными концами. Уравнение Эйлера.

10.

Задачи с свободными концами. Естественные граничные условия
. Задачи с
подвижными границами. Условие трансверсальности.

11.

Функционал Больца.

12.

Функционалы вида

и


Необходимые условия экстремума.

13.

Контрольная работа.

14.

Вторая вариация. Условие Лежандра. Классические до
статочные условия
экстремума

для простейшей задачи вариационного исчисления

15.

Вариационные задачи на условный экстремум. Изопериметрические задачи.

16.

Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные и неголономные связи.

17.

Задача о геодезических линиях.

18.

Зач
етное занятие.




Приложенные файлы

  • pdf 3618412
    Размер файла: 165 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий