2. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
К программе по дисциплине "математический анализ - 2" для студентов 1 - го курса факультета компьютерных наук Составитель А. Б. Шаповал кафедра высшей математик и НИУ ВШЭ Интегральное исчисление функции одной переменной 1 . Первообразная функции. Теорема об общем виде п ервообразной. Неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Замена переменных под знаком интеграла. Интегрирование по частям. 2. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых классов иррациональны х функций. Интегрирование некоторых классов т рансцендентных функций. 3. Определённый интеграл Римана. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции. 4. Определённы й интеграл с переменным верхним пределом: определение и основные свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Замена переменных в определённом интеграле. Интегрирование по частям. 5. Геометрические приложения определённого интеграла: длина дуги, площадь криволинейн ой трапеции, криволинейного сектора, объем цилиндрического тела и тела вращения. 6. Численное интегрирование: формулы прямоугольников, трапеций, парабол и их точности. 7. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегр алы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций (признак ограниченности, признак сравнения, признак сравнения в предельной форме). 8. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсолютно и усло вно сходящиеся несобственные интегралы. Примеры. Признаки Дирихле и Абеля. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных 9. Метрическое пространство. Аксиомы метрики. Примеры. Неравенства Коши, Минковского, неравенство треугольника. Сходимость в метрическом пространстве. Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности, сходимость и поточечная сходимость. 10. Внутренние, граничные, предельные точки. Открытые и замкнутые множества. Связ ные множества. Ограниченные множества. Компактные множества. Теорема Больцано - Вейерштрасса об ограниченной последовательности в метрическом пространстве. Критерий компактности. 11. Функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных по Гейн е и по Коши. Повторные пределы. Непрерывность функции нескольких переменных. Арифметические операции над непрерывными функциями. 12. Непрерывность сложной функции, теорема о сохранении знака непрерывной функции. Свойства функции, непрерывной на компакте. Р авномерная непрерывность функции нескольких переменных. 13. Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости. Непрерывность дифференцируемой функции. Достаточное усл овие дифференцируемости. Дифференциал функции нескольких переменных. 14. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Свойства первого дифференциала и его приложения. Формула Лагранжа для функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности уровня. Геометрический смысл дифференциала. 15. Производная по направлению. Градиент, свойства градиента. Однородные функции. Теорема Эйлера об однородных функциях. 16. Производные высших порядков. Пример Шварца о неравенстве смешанных произ во д ных. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. 17. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточными членами в форме Лагранжа и Пеано. Нея в ная функция, задаваемая одним уравнением. Теорема о существовании и дифференциру е мости неявной функции (с доказательством). 18. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия локального экс тремума. 19. Наибольшее и наименьшее значение дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве. 20. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Основная л итература 1. Г. М. Фехтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления . Т. I I , III − М.: Наука, 1969. 2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд - во Моск. ун - та, 2006. 3. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ в двух томах. М.: «Высшая школа», 1981 4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по матем атическому анализу. М.: «На у ка», 1997. Система оценивания Тип ко н троля Форма ко н троля 1 курс Параметры 3 мод. 4 мод. Тек у щий (неделя) ко н трольная р а бота (КР) 1 письменная работа на 80 м и нут (последняя неделя 3 - го модуля или первая неделя 4 - го модуля) домашн ее з а дание (ДЗ) 1 письменное задание и вычисл и тельная часть, срок выпо л нения: еженедельно итоговый экзамен (Э) 1 письменная работа теорет и чески - практического характ е ра на 90 мин (по окончании изучения дисциплины) Еженедельные домашние задания проверяют ся, их результаты суммируются. По ним выставляется итоговая оценка (ДЗ) по десятибальной шкале. На усмотрение преподавателя домашнее задание по всему изученному материалу может быть собрано однократно во второй половине 4 - го модуля (на 1 - ом потоке не приме няется ; поэтому особенности домашнего задания, собранного таким образом здесь не освещаются ) . Преподаватель объявляет формы защиты домашнего задания. Все задания экзамена содержат теоретический вопрос и задачу. При письменном ответе на теоретический вопро с студент должен продемонстрировать уровень знаний основных о п ределений, теорем, методов и пр., доказательств некоторых теоретических положений курса. При решении практической задачи студент должен показать умение применить теоретические факты к решению да нной задачи, продемонстрировать н а выки решения данного класса задач. Оценки теоретической и практической части задания отн о сятся как 3:7. Порядок формирования оценок по дисциплине Оценка всех форм контроля знаний осуществляется по 10 - ти бальной шкале и не округляются. Округляется только накопленная и итоговая оценки (но итоговая оценка вычисляется с учетом неокругл ё нной накопленной ) по следующим прав и лам На первом шаге вычисляет величина А = 0. 3 *КР + 0.2*ДЗ + 0. 5 *Э, где КР - это оценка за первую контроль ную работу, ДЗ - это оценка за Д омашн ее Задание , Э - оценка за экзамен. На втором шаге это величина округляется до целого: если дробная часть итоговой оценки находится в пределах [0, 0.3], то округление происходит в меньшую сторону, в пределах [0.7, 0.99] , то в большую сторону, иначе - на усмотрение преподавателей. Исключением является оценка А, лежащая в интервале (3, 4) , которая округляется до трёх (3 - х) баллов (так что оценка "удовлетворительно" начинается с четырёх баллов). Накопленная оценка вычисля ется как Н = 0 . 6 * КР + 0.4*ДЗ и округляется по правилам округления, принятым в математике (то есть оценка равна целому числу n , если до округления оценка попала на промежуток [ n - 0.5, n +0.5) ).

Приложенные файлы

  • pdf 85578488
    Размер файла: 197 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий