Статья поступила 17 сентября 2004 г., окончательный вариант. Safak Alpay (Алпай Шафак), Zafer Ercan (Эрджан Зафер) Middle East Technical University, Department of Mathematics, 06531 Ankara


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Ñèáèðñêèéìàòåìàòè÷åñêèéæóðíàë
Ìàéèþíü,2006.Òîì47,3
ÓÄÊ517.98.1
ÇÀÌÅÒÊÀÎÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÕ
CD
0
(
K
)
Ø.Àëïàé,Ç.Ýðäæàí
Àííîòàöèÿ:
Â[1,2]äàíîïðåäñòàâëåíèåïðîñòðàíñòâà
CD
0
(
K
)äëÿêîìïàêòíîãî
õàóñäîðôîâàïðîñòðàíñòâà
K
áåçèçîëèðîâàííûõòî÷åê.Âñòàòüåýòîòðåçóëüòàò
îáîáùàåòñÿíàïðîèçâîëüíîåñ÷åòíîêîìïàêòíîåïðîñòðàíñòâî
K
áåçêàêèõ-ëèáî
ïðåäïîëîæåíèéîáèçîëèðîâàííûõòî÷êàõ.
Êëþ÷åâûåñëîâà:
ðåøåòî÷íûéèçîìîðôèçì,áàíàõîâàðåøåòêà,
CD
0
(
K
)-ïðîñò-
ðàíñòâî.
Ïóñòü
K
òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâîè
E
áàíàõîâàðåøåòêà.Êàê
îáû÷íî,÷åðåç
C
(
K;E
)îáîçíà÷àåòñÿâåêòîðíàÿðåøåòêàâñåõíåïðåðûâíûõôóíê-
öèéèç
K
â
E
,à÷åðåç
c
0
(
K;E
)âåêòîðíàÿðåøåòêàâñåõôóíêöèé
f
èç
K
â
E
òàêèõ,÷òîìíîæåñòâî
f
k
:

k
f
(
k
)
kg
êîíå÷íîäëÿëþáîãî
�
0.Åñëè
E
=
R
,
òîáóäåìïèñàòü
C
(
K

c
0
(
K
)âìåñòî
C
(
K;
R

c
0
(
K;
R
)ñîîòâåòñòâåííî.Ìû
áóäåìòàêæåèñïîëüçîâàòüîáîçíà÷åíèå
CD
0
(
K;E
)=
f
f
+
d
:
f
2
C
(
K;E
)
;d
2
c
0
(
K;E
)
g
:
Åñëè
K
êîìïàêòíîåõàóñäîðôîâîïðîñòðàíñòâîáåçèçîëèðîâàííûõòî÷åê,òî
CD
0
(
K;E
)áàíàõîâàðåøåòêàîòíîñèòåëüíîïîòî÷å÷íûõîïåðàöèé.Ñâîéñòâà
íîðìûèïîðÿäêàâ
CD
0
(
K;E
)èçó÷àëèñüâ[35].
Îïðåäåëåíèå1.
Ïóñòü
K
òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî,((
k

;r

))
ñåòüâ
K
f
0
;
1
g
è(
k;r
)
2
K
f
0
;
1
g
.Áóäåìãîâîðèòü,÷òîñåòü((
k

;r

))
ñõîäèòñÿê
(
k;r
)(èïèñàòü(
k

;r

)
!
(
k;r
)),åñëè
f
(
k

)+
r

d
(
k

)
!
f
(
k
)+
rd
(
k
)
äëÿëþáûõ
f
2
C
(
K

d
2
c
0
(
K
).Ñèìâîëîì
K
f
0
;
1
g
îáîçíà÷àåòñÿìíîæåñòâî
K
f
0
;
1
g
,ñíàáæåííîåýòîéñõîäèìîñòüþ.
Â[1,2]äîêàçàíî,÷òî
K
f
0
;
1
g
ÿâëÿåòñÿêîìïàêòíûìõàóñäîðôîâûìïðî-
ñòðàíñòâîìäëÿäàííîãîêîìïàêòíîãîõàóñäîðôîâàïðîñòðàíñòâà
K
áåçèçîëèðî-
âàííûõòî÷åê.Íàïîìíèì,÷òîòîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî
X
íàçûâàþò
ñ÷åò-
íîêîìïàêòíûì
,åñëèêàæäîåñ÷åòíîåîòêðûòîåïîêðûòèå
X
èìååòêîíå÷íîå
ïîäïîêðûòèå(èëè,ðàâíîñèëüíî,åñëèêàæäàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòüâ
K
èìååò
ñõîäÿùóþñÿïîäñåòü).
Ëåììà2.
Ïóñòü
K
òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî.Òîãäà
(a)
K
f
0
;
1
g
òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâîîòíîñèòåëüíîóêàçàííîéâûøå
ñõîäèìîñòè;
(b)
åñëè
K
ñ÷åòíîêîìïàêòíîåõàóñäîðôîâîïðîñòðàíñòâî,òî
K
f
0
;
1
g
òàêæåñ÷åòíîêîìïàêòíî;
c

2006ÀëïàéØ.,ÝðäæàíÇ.
Îïðîñòðàíñòâàõ
CD
0
(
K
)515
(c)
åñëè
K
âïîëíåðåãóëÿðíîåõàóñäîðôîâîïðîñòðàíñòâî,òî
K
ñ÷åòíî
êîìïàêòíîòîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà
K
f
0
;
1
g
ñ÷åòíîêîìïàêòíî.
Äîêàçàòåëüñòâî.
(a)Äëÿêàæäîéïàðûôóíêöèé
f
2
C
(
K

d
2
c
0
(
K
)
îïðåäåëèì
'
fd
:
K
f
0
;
1
g!
R
èïîëóìåòðèêó

fd
:(
K
f
0
;
1
g
)
2
!
R
ñëåäóþ-
ùèìîáðàçîì:
'
fd
(
k;r
)=
f
(
k
)+
rd
(
k
)
;
(
k;r
)
2
K
f
0
;
1
g
;

fd
(
x;y
)=
j
'
fd
(
x
)

'
fd
(
y
)
j
;x;y
2
K
f
0
;
1
g
:
Ëåãêîâèäåòü,÷òîñõîäèìîñòüíà
K
f
0
;
1
g
ñîâïàäàåòñîñõîäèìîñòüþâìóëü-
òèìåòðèêå
f

fd
:
f
2
C
(
K
),
d
2
c
0
(
K
)
g
.Îòñþäàíåìåäëåííîâûòåêàåò,÷òîñõî-
äèìîñòüòîïîëîãè÷íàè
K
f
0
;
1
g
äåéñòâèòåëüíîòîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî.
Áîëååòîãî,îíîðàâíîìåðèçóåìî,ïîñëåäíååýêâèâàëåíòíîòîìó,÷òî
K
f
0
;
1
g
ÿâëÿåòñÿ
T
3
1
2
-ïðîñòðàíñòâîì.Ââîäèìàÿíàíåìòîïîëîãèÿýòîñëàáåéøàÿòî-
ïîëîãèÿíà
K
f
0
;
1
g
,âêîòîðîéíåïðåðûâíûâñåôóíêöèè
'
fd
(ïîäðîáíîñòèñì.
â[6,ãë.9]).
(b)Ïóñòü((
k
n
;r
n
))ïîñëåäîâàòåëüíîñòüâ
K
f
0
;
1
g
,íåñîäåðæàùàÿïîñòî-
ÿííîéïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Äîñòàòî÷íîïîêàçàòü,÷òîñóùåñòâóþò(
k;r
)
2
K
f
0
;
1
g
èïîäñåòü((
k
n

;r
n

))òàêèå,÷òî(
k
n

;r
n

)
!
(
k;r
)è(
k
n

;r
n

)
6
=(
k;r
).
Ìîæíîïðåäïîëàãàòü,÷òî
r
n
=0äëÿêàæäîãî
n
èëè
r
n
=1äëÿêàæäîãî
n
(èíà-
÷åìîæíîïåðåéòèêïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòèâ((
k
n
;r
n
))).Äîïóñòèìñíà÷àëà,÷òî
r
n
=0äëÿëþáîãî
n
.Òàêêàê
K
ñ÷åòíîêîìïàêòíî,ñóùåñòâóåòïîäñåòü(
k
n


(
k
n
)òàêàÿ,÷òî
k
n

!
k
è
k
n

6
=
k
äëÿêàæäîãî

.ßñíî,÷òî(
k
n

;
0)
!
(
k;
0).
Ïóñòüòåïåðü
r
n
=1äëÿëþáîãî
n
.Âíîâüââèäóñ÷åòíîéêîìïàêòíîñòè
K
ñóùå-
ñòâóþò
k
2
K
èïîäñåòü(
k
n

)â(
k
n
)òàêèå,÷òî
k
n

!
k
è
k
n

6
=
k
äëÿêàæäîãî

.Ïîñêîëüêó
K
õàóñäîðôîâî,ëþáàÿïîäñåòüñåòè(
k
n

)ïðîáåãàåòáåñêîíå÷íîå
ìíîæåñòâîçíà÷åíèé,òàê÷òî
d
(
k
n

)
!
0äëÿëþáîãî
d
2
c
0
(
K
).ßñíîòåïåðü,
÷òî(
k
n

;
1)
!
(
k;
0).Ýòîçàâåðøàåòäîêàçàòåëüñòâîï.(b).
(c)Ïóñòü
K
âïîëíåðåãóëÿðíîåõàóñäîðôîâîïðîñòðàíñòâîòàêîå,÷òî
K
f
0
;
1
g
ñ÷åòíîêîìïàêòíî.Ïóñòü(
k
n
)ïîñëåäîâàòåëüíîñòüâ
K
,íåñîäåð-
æàùàÿïîñòîÿííîéïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Òîãäàñóùåñòâóåòïîäñåòü((
k
n

;
0))
â(
k
n
;
0)òàêàÿ,÷òî(
k
n

;
0)
!
(
k;r
)è(
k
n

;
0)
6
=(
k;r
)äëÿëþáîãî

.Îòñþäà
r
=0.Ñëåäîâàòåëüíî,
f
(
k
n

)
!
f
(
k
)äëÿëþáîé
f
2
C
(
K
).Òàêêàê
K
âïîëíå
ðåãóëÿðíî,èìååì
k
n

!
k
.Ëåììàäîêàçàíà.
Â[1,2]äîêàçàíà
Òåîðåìà3.
Ïóñòü
K
êîìïàêòíîåõàóñäîðôîâîïðîñòðàíñòâîáåçèçîëè-
ðîâàííûõòî÷åê.Òîãäàáàíàõîâûðåøåòêè
CD
0
(
K
)
è
C
(
K
f
0
;
1
g
)
èçîìåòðè÷å-
ñêèèïîðÿäêîâîèçîìîðôíû.
Âíàñòîÿùåéðàáîòåìûîáîáùèìòåîðåìó3âäâóõíàïðàâëåíèÿõ:êîìïàêò-
íîñòüçàìåíèìñ÷åòíîéêîìïàêòíîñòüþ,àóñëîâèåîòñóòñòâèÿèçîëèðîâàííûõ
òî÷åêîïóñòèì.
Äëÿòîïîëîãè÷åñêîãîïðîñòðàíñòâà
K
èáàíàõîâîéðåøåòêè
E
íà
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)ðàññìàòðèâàþòñÿïîêîîðäèíàòíûåàëãåáðàè÷åñêèåîïåðàöèè.
Îïðåäåëåíèå4.
Ïóñòü
K
òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâîè
E
áàíàõîâà
ðåøåòêà.Äëÿ(
f;d
)
2
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)ïîëîæèì
0

(
f;d
)
()
0

f
(
k
)è0

f
(
k
)+
d
(
k
)äëÿâñåõ
k
2
K:
516
Ø.Àëïàé,Ç.Ýðäæàí
Ñèìâîë
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)èñïîëüçóåòñÿäëÿîáîçíà÷åíèÿâåêòîðíîãîïðîñòðàí-
ñòâà
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)ñóêàçàííûìïîðÿäêîì.
Ïóñòü
C
b
(
K;E
)ïîäïðîñòðàíñòâîïðîñòðàíñòâà
C
(
K;E
),ñîñòîÿùååèç
âñåõíåïðåðûâíûõîãðàíè÷åííûõôóíêöèéèç
K
â
E
.
Òåîðåìà5.
Ïóñòü
K
òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâîè
E
áàíàõîâàðå-
øåòêà.Òîãäà
(a)
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)
àðõèìåäîâàâåêòîðíàÿðåøåòêà;êðîìåòîãî,
j
(
f;d
)
j
=(
j
f
j
;
j
f
+
d
j�j
f
j
)
äëÿëþáîãî
(
f;d
)
2
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)
;
(b)
c
0
(
K;E
)
ìîæåòáûòüâëîæåíîâ
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)
êàêèäåàë,à
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)
=c
0
(
K;E
)
è
C
(
K;E
)
ÿâëÿþòñÿèçîìîðôíûìèïðîñòðàíñòâàìèÐèññà;
(c)
âåêòîðíàÿïîäðåøåòêà
C
b
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)(=
C
b
(
K;E
)

c
0
(
K;E
))
â
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)
ÿâëÿåòñÿáàíàõîâîéðåøåòêîéîòíîñèòåëüíîíîðìû
k
(
f;d
)
k
=sup
fk
f
(
k
)+
rd
(
k
)
k
:(
k;r
)
2
K
f
0
;
1
gg
:
Äîêàçàòåëüñòâî.
(a)ßñíî,÷òî
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)óïîðÿäî÷åííîåâåê-
òîðíîåïðîñòðàíñòâî.Ïóñòü(
f;d
)
2
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
).Òîãäà(
j
f
j
;
j
f
+
d
j�j
f
j
)
âåðõíÿÿãðàíèöàäëÿ
f
(
f;d
)
;

(
f;d
)
g
.Ïóñòü(
g;p
)äðóãàÿâåðõíÿÿãðàíèöàäëÿ
f
(
f;d
)
;

(
f;d
)
g
.Òîãäà
0

g

f;
0

g
+
p

f

d;
0

f
+
g;
0

f
+
g
+
p
+
d:
Îòñþäà(
j
f
j
;
j
f
+
d
j�j
f
j
)

(
g;p
),èï.(a)äîêàçàí.
(b)Î÷åâèäíî,÷òî
c
0
(
K;E
)èäåàëâ
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)èîòîáðàæåíèå

:
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)
=c
0
(
K;E
)
!
C
(
K;E
),îïðåäåëåííîåðàâåíñòâîì

([(
f;d
)])=
f
,ðåøåòî÷íûéèçîìîðôèçì.
(c)Âûòåêàåòíåïîñðåäñòâåííîèçîïðåäåëåíèÿïîðÿäêàíà
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
).
Ëåãêîâèäåòü,÷òîíîðìàâïðåäûäóùåéòåîðåìåÿâëÿåòñÿíîðìîé,ïîðîæ-
äåííîéïîðÿäêîâîéåäèíèöåéíàïðîñòðàíñòâå
C
b
(
K
)

c
0
(
K
),ãäå(
1
;
0)ïîðÿä-
êîâàÿåäèíèöàïðîñòðàíñòâà
C
b
(
K
)

c
0
(
K
).Âîîáùåãîâîðÿ,(
1
;
0)ýòîñëàáàÿ
ïîðÿäêîâàÿåäèíèöàâïðîñòðàíñòâå
C
(
K
)

c
0
(
K
),íîââåêòîðíîéðåøåòêå(ñ
ïîêîîðäèíàòíûìïîðÿäêîì)
C
(
K
)

c
0
(
K
)íåòñëàáîéïîðÿäêîâîéåäèíèöû.Ýòî
ïîêàçûâàåò,÷òîâåêòîðíûåðåøåòêè
C
(
K
)

c
0
(
K

C
(
K
)

c
0
(
K
)âîáùåì
ñëó÷àåìîãóòíåáûòüðåøåòî÷íîèçîìîðôíûìè.
Åñëè
K
òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî,âêîòîðîìíåòêîíå÷íûõîòêðûòûõ
ïîäìíîæåñòâ,òîëåãêîâèäåòü,÷òî
C
(
K
)
\
c
0
(
K
)=
f
0
g
è
f
2
C
(
K
)
;d
2
c
0
(
K
)è0

f
+
d
â
CD
0
(
K
)=
)
0

f
â
C
(
K
)
:
Îòñþäàâûòåêàåò
Òåîðåìà6.
Åñëè
K
òîïîëîãè÷åñêîåïðîñòðàíñòâî,âêîòîðîìíåòêîíå÷-
íûõîòêðûòûõìíîæåñòâ,òîóïîðÿäî÷åííûåâåêòîðíûåïðîñòðàíñòâà
CD
0
(
K
)
è
C
(
K
)

c
0
(
K
)
ïîðÿäêîâîèçîìîðôíûèèçîìîðôèçì

:
C
(
K
)

c
0
(
K
)
!
CD
0
(
K
)
îïðåäåëÿåòñÿòàê:

(
f;d
)=
f
+
d
.
Ñôîðìóëèðóåìðåçóëüòàò,àíàëîãè÷íûéòåîðåìå3.
Îïðîñòðàíñòâàõ
CD
0
(
K
)517
Òåîðåìà7.
Ïóñòü
K
ñ÷åòíîêîìïàêòíîåïðîñòðàíñòâî
(
íåîáÿçàòåëüíî
õàóñäîðôîâîèëèáåçèçîëèðîâàííûõòî÷åê
)
.Òîãäà
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)
è
C
(
K

f
0
;
1
g
;E
)
ÿâëÿþòñÿèçîìîðôíûìèâåêòîðíûìèðåøåòêàìè.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü

:
C
(
K;E
)

c
0
(
K;E
)
!
C
(
K
f
0
;
1
g
;E
)îïðå-
äåëÿåòñÿôîðìóëîé

(
f;d
)(
k;r
)=
f
(
k
)+
rd
(
k
).Î÷åâèäíî,÷òî

âçàèìíî
îäíîçíà÷íîåîòîáðàæåíèåè0


(
f;d
)òîãäàèòîëüêîòîãäà,êîãäà0

(
f;d
).
Îñòàåòñÿïîêàçàòü,÷òî

íàêðûâàþùåå.Ïóñòüäàíî
g
2
C
(
K
f
0
;
1
g
;E
).Îïðå-
äåëèì
f;d
:
K
!
E
ðàâåíñòâàìè
f
(
k
)=
g
(
k;
0)è
d
(
k
)=
g
(
k;
1)

g
(
k;
0)
:
Åñëè
k

!
k
â
K
,òî(
k

;
0)
!
(
k;
0)â
K
f
0
;
1
g
,èìûèìååì
f
(
k

)=
g
(
k

;
0)
!
g
(
k;
0)=
f
(
k
)
:
Îòñþäà
f
2
C
(
K;E
).Äîêàæåì,÷òî
d
2
c
0
(
K;E
).Äåéñòâèòåëüíî,ïóñòü
d
62
c
0
(
K;E
).Òîãäàñóùåñòâóþòïîñëåäîâàòåëüíîñòü(
k
n

K
è÷èñëî
"�
0òàêèå,
÷òî
k
n
6
=
k
m
äëÿâñåõ
n
6
=
m
è
"
k
d
(
k
n
)
k
=
k
g
(
k
n
;
1)

g
(
k
n
;
0)
k
.Ïîñêîëüêó
K
ñ÷åòíîêîìïàêòíî,íàéäåòñÿïîäñåòü(
k
n

)â(
k
n
),äëÿêîòîðîé
k
n

!
k
â
K
ïðè
íåêîòîðîì
k
.Òàêêàêêàæäàÿïîäñåòüâ(
k
n

)ïðîáåãàåòáåñêîíå÷íîåìíîæåñòâî
çíà÷åíèé,ëåãêîïðîâåðèòü,÷òî(
k
n

;
1)
!
(
k;
0)â
K
f
0
;
1
g
(èëèñì.[1]).ßñíî
òàêæå,÷òî(
k
n

;
0)
!
(
k;
0)â
K
f
0
;
1
g
.Òîãäà
"
k
d
(
k
n

)
k
=
k
g
(
k
n

;
1)

g
(
k
n

;
0)
k!k
g
(
k;
0)

g
(
k;
0)
k
=0
:
Ïîëó÷åííîåïðîòèâîðå÷èåïîêàçûâàåò,÷òî
d
2
c
0
(
K;E
).Î÷åâèäíî,÷òî

(
f;d
)=
g
.Òåîðåìàäîêàçàíà.
Àâòîðûïðèçíàòåëüíûðåöåíçåíòóçàïîëåçíûåïðåäëîæåíèÿèçàìå÷àíèÿ.
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
1.
ErcanZ.

Приложенные файлы

  • pdf 83624779
    Размер файла: 344 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий