Формула Остроградского–Гаусса. 14. Формула Стокса. Определитель Вронского, формула Лиувилля–Остроградского.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Программа вступительного экзамена

по математике в магистратуру

(направления:
Математика 010100.68
;
Математика и компьютерные
науки 010200.68; Прикладная математика и информатика 010400.68)


1.

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций Ролля, Лагранжа и К
оши.

2.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано.

3.

Исследование функции одного переменного с помощью производных:
монотонность, экстремумы, выпуклость, перегибы.

4.

Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия и
дос
таточные условия дифференцируемости.

5.

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия,
достаточные условия.

6.

Условный экстремум функций нескольких переменных. Метод множителей
Лагранжа (необходимые условия экстремума).

7.

Определѐнный интеграл.

Свойства интеграла с переменным верхним пределом:
непрерывность, дифференцируемость. Формула Ньютона
-
Лейбница.

8.

Несобственные интегралы. Сходимость и абсолютная сходимость. Признаки
сравнения.

9.

Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сра
внения.

10.

Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

11.

Степенные ряды. Радиус сходимости. Ряд Тейлора.

12.

Криволинейные интегралы. Формула Грина.

13.

Поверхностные интегралы. Формула Остроградского

Гаусса.

14.

Формула Стокса.

15.

Тригонометричес
кий ряд Фурье. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в
точке. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.

16.

Преобразование Фурье. Формула обращения. Преобразование Фурье производной
и производная преобразования Фурье.

17.

Различные способы задан
ия прямой и плоскости. Углы между прямыми и
плоскостями. Формулы расстояния от точки до прямой и плоскости.

18.

Кривые второго порядка. Эллипс, парабола, гипербола и их свойства.

19.

Системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Теорема
Кронекера

К
апелли. Общее решение системы.

20.

Линейное преобразование конечномерного пространства, его матрица.
Собственные векторы и собственные значения, их свойства.

21.

Евклидово пространство. Самосопряжѐнные преобразования, свойства их
собственных векторов и собственн
ых значений.

22.

Билинейные формы. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду.

23.

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами и системы таких уравнений. Методы их решения, использование
матричных формул.

24.

Линейные
обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными
коэффициентами. Фундаментальная система решений. Метод вариации
постоянных. Определитель Вронского, формула Лиувилля

Остроградского.

25.

Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

26.

Вероя
тностное пространство. Независимые события. Теорема сложения. Условная
вероятность. Полная система событий. Формула полной вероятности. Формула
Байеса.

27.

Случайная величина и еѐ функция распределения.

28.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,

их свойства.

29.

Испытания Бернулли. Неравенство Чебышева и закон больших чисел. Теорема
Муавра

Лапласа и предельная теорема Пуассона.

30.

Регулярные функции комплексного переменного. Интегральная формула Коши.
Функции, регулярные в кольце. Ряд Лорана.

31.

Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация.

32.

Вычет в изолированной особой точке. Вычисление интегралов при помощи
вычетов.

33.

Метод характеристик для гиперболических уравнений на плоскости. Задача Коши.

34.

Задача Коши для уравнений кол
ебаний струны и одномерного уравнения
теплопроводности. Формулы Даламбера и Пуассона.

35.

Задачи Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона (двумерный и
трѐхмерный случаи).

Примерный перечень типов задач для поступающих в магистратуру

1.

Вычислить пред
ел функции одного вещественного переменного в точке.

2.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость при всех значениях
параметра несобственный интеграл.

3.

Исследовать на поточечную и равномерную сходимость функциональный ряд на
заданном множестве.

4.

Иссл
едовать функцию двух вещественных переменных на дифференцируемость в
каждой точке ее области определения.

5.

В классической задаче на условный экстремум для функции нескольких
вещественных переменных найти стационарные точки функции Лагранжа и
проверить в ни
х достаточные условия локального условного экстремума второго
порядка.

6.

Вычислить поверхностный интеграл первого или второго ряда.

7.

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с
переменными коэффициентами.

8.

В конечномерном вещ
ественном евклидовом пространстве найти расстояние от
заданной точки до заданного подпространства.

9.

Найти Жорданову форму матрицы.

10.

Привести квадратичную форму к каноническому виду.

11.

Применяя теорию вычетов, найти комплексный интеграл по замкнутой
ориентиров
анной кривой на комплексной плоскости.

12.

Решить задачу Коши для волнового уравнения или уравнения теплопроводности.

На решение задач отводится четыре астрономических часа.

Литература

1.

Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа.

2.

С.М. Никольский.

Курс математического анализа.

3.

А.М. Тер
-
Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа.

4.

Г.Н. Яковлев. Лекции по математическому анализу.

5.

Г.Н. Яковлев. Функциональные пространства.

6.

Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу.

7.

А.Е. Умнов. Анали
тическая геометрия и линейная алгебра.

8.

В.И. Чехлов. Лекции по аналитической геометрии и линейной алгебре.

9.

Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

10.

Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

11.

В.В. Степанов. Курс диф
ференциальных уравнений.

12.

М.В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

13.

В.К. Романко. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления.

14.

В.К. Захаров, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков, Теория вероятностей.

15.

В.П. Чистяков. Курс теории вер
оятностей.

16.

Е.С. Половинкин. Курс лекций по теории функций комплексного переменного.

17.

М.И. Шабунин, Ю.В. Сидоров. Теория функций комплексного переменного.

18.

В.С. Владимиров. Уравнения математической физики.

19.

В.П. Михайлов. Лекции по уравнениям математическо
й физики.

20.

В.М. Уроев. Уравнения математической физики.


Приложенные файлы

  • pdf 83488816
    Размер файла: 139 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий