Решение: Исходное параметрическое уравнение для дирекционного угла имеет вид. ai. arctg yкон — yнач . xкон — xнач.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство
о
бразования и науки Российской Федерации


МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТ
ВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФ
ИИ МИИГАИК










Методические указания


Уравнивание геодезических измерений

параметрическим способом



по дисциплине


Теория
математической обработки геодезических измерений
ТМОГИ



Рекомендовано УМО по образованию в области геодезии и фотограмметрии

в качестве методических указаний для студентов высших учебных заведений,

обучающихся

по направлению подготовки 120100



Геодезия














МОСКВА 20
1
1



2

УДК

Составители:
Федоров С.Ф.,
Вшивкова О.В., Швец С.В.


Методические указания Уравнивание геодезических измерений
параметрическим способом по курсу ТМОГИ для
студентов
III

курса
геодезического

факультета.


М.: Из
д. МИИГАиК.



Методические указания написаны в соответствии с утвержденной
программой курса Теория математической обработки геодезических и
з
мерений, рекомендованы кафедрой геодезии,
утверждены к изданию р
е
дакционно
-
издательской комиссией
геодезического

факультета.

В методических указаниях изложены основные этапы уравнивания

геодезических сетей параметрическим способом по МНК, приведены
примеры уравнивания нивелирной сети и обратной многократной засечки
параметрическим способом. В методических указаниях
также даны рек
о
мендации по использованию компьютерных программ при уравнивании
по МНК.





Рецензенты:

доцент
,
к
.т.н.
Визиров Ю.В.


доцент, к.т.н. Заболотный Н.С.














Московский государственный университет геодезии и картографии, 20
1
1



3

1. Уравнивание геодезических измерений


В общем случае организацию измерений в геодезической сети можно
описать следующим образом.

Для определения
k

величин, истинные значения которых равны
X
1
,
X
2
,…
X
k
, измерены
n

величин, истинные значения которых равны
L
1
,
L
2
,…
L
n
,
причем

среди величин
L
i

могут быть и величины
X
j
, и получены р
е
зультаты измерений
l
1
,
l
2
,…
l
n
.

Обычно результаты измерений


независимые величины, их точность
характеризуется весами
p
1
,
p
2
,…
p
n
. Число
определяемых величин равно чи
с
лу
необходимых измерений



минимальному числу величин, которые нео
б
ходимо измерить, чтобы определить искомые величины.

Разность


называется числом избыточных измерений, числом избыточно измеренных
величин.

В геодезической практике всегда проводятся избыточные измерения, в
первую очередь, для контроля результатов измерений, исключения резул
ь
татов с грубыми погрешностями. Кроме того, при рациональной
математ
и
ческой
обработке наличие избыточных измерений позволяет повысить то
ч
ность определения искомых величин.

Из измерявшихся величин
L
i

можно выбрать
k

величин, составляющих
систему необходимых
величин, позволяющих вычислить значения всех о
п
ределяемых искомых величин
X
j
. Можно выбрать разные системы необх
о
димых величин.

Наличие избыточных измерений приводит к тому, что значение ка
ж
дой искомой величины можно определить вычислить по разным ход
овым
линиям. Необходимые измерения позволяют получить значение искомой
величины
X
j

один раз, каждое избыточное измерение дает еще одно знач
е
ние для
X
j
.

Из
-
за избыточных измерений измерявшиеся величины будут связаны
условными уравнениями


Из множества условных уравнений, возникающих в сети, можно от
о
брать систему из
r

независимых условных уравнений,
таких, что
ни одно из
уравнений, входящих в эту систему, нельзя выразить как функцию других.
Когда говорят о системе
условных уравнений в сети, имеют в виду именно
такую систему из
r

независимых уравнений.



4

Результаты измерений
l
i

не равны истинным значениям измерявшихся
величин
L
i
, они отягощены истинными погрешностями

результатов
измерений


Истинную погрешность разделяют на две составляющие


системат
и
ческую погрешность

и случайную погрешность


Систематическая погрешность,
систематическая составляющая исти
н
ной погрешности


постоянная для данных условий измерений величина,
математическое ожидание систематической погрешности равно ей самой


Случайная погрешность, случайная составляющая истинной погре
ш
ности


случайная величи
на, ее математическое ожидание равно нулю


Если систематические погрешности равны нулю, результаты измер
е
ний


несмещенные оценки измерявшихся величин, т.е. если
,


Из
-
за погрешн
остей результаты измерений


несогласованные оценки
измерявшихся величин, они не удовлетворяют соотношениям, возника
ю
щим в сети
:



значения искомой величины
X
j
, вычисленные по разным ходовым
линиям
,

будут различны,



результаты измерений не удовлетворяют

условным уравнениям
, т.е.



величина

называется невязкой условного уравнения. Поэтому возникает
необходимость перехода от несогласованных результатов измерений к с
о
гласованным оценкам



(1.1)



5

Значения искомых величин
X
j

, вычисленные по разным ходовым л
и
ниям по
,

должны совпадать, эти оценки должны удовлетворять условным
уравнениям


Значения

называются уравненными результатами измерений, вел
и
чины



поправками к результатам измерений.

Процесс вычисления оценок

называется уравниванием результатов
измерений, соответс
твующие вычисления


уравнительными вычислениями.
Уравнивание сводится к вычислению поправок
, причем, очевидно, что
поправки

должны быть небольшими величинами, по абсолютной велич
и
не сравнимыми с погреш
ност
ями

измерений.

Уравнивание


неоднозначная задача, можно найти разные системы
уравненных результатов измерений разные системы поправок, удовлетв
о
ряющие поставленным условиям.

Вычисление уравненных значений искомых величин


лищь одна из
задач
уравнивания. При уравнивании надо, кроме того, определить точность
найденных оценок, определить точность заданных функций уравненных в
е
личин, и, наконец, оценить точность измерений.

Решение второй и третьей задач уравнивания сводится к вычислению
обратных
весовых матриц соответствующих величин или к вычислению
только отдельных элементов этих матриц


обратных весов, решение че
т
вертой задачи сводится к оцениванию по материалам уравнивания среднего
квадратического отклонения измерения с весом, равным единиц
е.

Основным методом уравнивания является предложенный Гауссом и
Лежандром метод наименьших квадратов


поправки к
независимым

р
е
зультатам измерений должны удовлетворять условию, принципу наимен
ь
ших квадратов


(1.2)

Полученные в соответствии с этим условием уравненные результаты
измерений

называются оценками метода наименьших квадратов,
МНК
-
оценками.

Оценки метода наименьших квадратов


оптимальные оценки, это с
о
стоятельные, несмещенные есл
и в результатах измерений нет систематич
е
ских погрешностей и эффективные оценки.



6

Существуют различные способы уравнивания по методу наименьших
квадратов. Обычно среди этих способов выделяют коррелатный, параметр
и
ческий, а также комбинированные и групповы
е способы.

Все они приводят к одним и тем же оценкам, так как являются разли
ч
ными вычислительными путями реализации условия
.



7

2. Основные этапы уравнивания параметрическим способом


1.

Составление параметрических уравнений поправок.

1.
1
.

Выбор параметров. Составление
исходных
параметрических уравнений.

Параметрический способ уравнивания начинается с выбора параме
т
ров


T
j

, которые должны удовлетворять следующим условиям:



число параметров равно числу необходимых измерений
k
,



параметры должны быть независимы
ми
, т.е. ни один из них не
должен выражаться как функция других,



измерявшиеся величины
L
i

должны выражаться как функции пар
а
метров

,

(*)

i
1, 2,…
n
;

T
j



истинные значения параметров.

Термин
параметры введен для общности, т.к. можно выбрать ра
з
личные системы параметров, удовлетворяющие поставленным условиям.
Обычно в качестве параметров выбирают искомые величины
X
j
. Так в пл
а
новых сетях в качестве параметров выбираются координаты, в нивелирн
ых
высотных сетях


высоты определяемых пунктов.

Уравнениям  должны удовлетворять уравненные результаты изм
е
рений

и уравненные значения параметров
t
j


.

(2.1)

Уравнения
(*)

и
(2.1)

называют
исходными
п
араметрическими уравн
е
ниями.

1.2.

Составление параметрических уравнений поправок.

Если исходные параметрические уравнения


нелинейные функции,
проводится их линеаризация, переход к параметрическим уравнениям п
о
правок

вида


(2.2)

Уравненные значения параметров выражаются как сумма приближенн
ых

значени
й параметров


и поправ
ок

, полученн
ых

в результате уравнив
а
ния:



(2.3)

j
1, 2,…
k
.



8

Приближенные значения п
араметров должны быть вычислены дост
а
точно точно, чтобы при линеаризации можно было ограничиться первыми
членами разложения функций 2.1 в ряд Тейлора.

Коэффициенты

равны
частным производным функций
, в
ычи
с
ленным по приближенным значениям параметров

,

(2.4)

свободные члены

равны


(2.5)


(2.6)

Если исходные параметрические уравнения


линейные
функции, к
о
эффициенты

равны соответствующим коэффициентам этих функций.
Приближенные значения параметров обычно вводятся и в этом случае, т.к.
это позволяет уменьшить число значащих цифр, удерживаемых при вычи
с
лениях.

Число пара
метрических уравнений поправок в сети равно числу изм
е
ренных величин, все они составляют систему параметрических уравнений
поправок


(2.7)

В матричной форме система 2.7 записывается в виде


(2.7*)

где

v



вектор поправок к результатам измерений;


A



матрица коэффициентов параметрических уравнений п
о
правок;


τ



вектор поправок к приближенным значениям параметров;


a
0



вектор свободных членов параметрических уравнений п
о
правок.



9

Размерность векторов
v

и
a
0



n
×
1, вектора
τ



k
×
1, матрицы
A



n
×
k
, т.е.



здесь 
Т



знак транспонирования

вектора
, т.е.
транспонированную матр
и
цу получают из данной матрицы после замены строк соответствующими
столбцами
.


Запишем в матричной форме и дру
гие величины, используемые в
уравнительных вычислениях.

Результаты измерений составляют вектор результатов измерений
l



Точность результатов измерений характеризуется матриц
ей

весов
P


Обратная весовая
матрица для независимых результатов измерений


диагональная матрица, диагональные элементы которой равны обратным
весам результатов измерений


а
недиагональные


нулю.

Матрица, обратная

, в этом случае б
удет матрицей весов результатов
измерений
P



диагональной матрицей,
диагональные
элементы которой
равны весам результатов измерений




10

Условие метода наименьших квадратов в матричной форме имеет вид


(2.8)

Уравненные результаты измерений составляют вектор уравненных р
е
зультатов измерений


Приближенные значения

и уравненные значения

параметров


векторы приближенных и уравненных
параметров


Формулы 1.1, 2.3, 2.5 в матричной форме имеют вид


Вектор приближенных значений параметрических уравнений


где

На этом этапе
уравнивания вычисляется вектор контрольных сумм п
а
раметрических уравнений поправок



где



единичный вектор размерностью
n
×
1
.


Замечания

1.

При уравнивании конкретных геодезических
сетей для обозначения изме
ренных и
искомых величин часто

используются те же символы, что и в геодезии





для углов,




для дирекционных углов,



для сторон,

и



для координат пунктов. В этом
случае поправки удобно обозначать тем же символом с добавлением символа 






поправки в углы,




поправки в дирекционные углы,



поправки в стороны,

и



поправки в координаты пунктов и т.д.



11

2.

При вычислении коэффициентов параметрических уравнений поправок надо уч
и
тывать, что при линеаризации функций 2.1 предполагается выражение приращений
угловых величин функций и аргументов в радианах. В геодезии эти величины выраж
а
ются в угловой мере, обычно в секундах.


2.
Вычисление коэффициентов и свободных членов нормальн
ых уравнений.

Для того, чтобы вектор
v

удовлетворял условию метода наименьших
квадратов
, поправки

должны быть корнями си
с
темы нормальных уравнений

,

(2.9)

где

N



матрица коэффициентов

нормальных уравнений размерн
о
стью
k
×
k

N
=
A
T
PA
;

(
2.10
)


λ



вектор свободных членов нормальных уравнений

λ
=
A
T
Pa
0
.

(2.11)

На этапе
2

уравнивания по формулам 2.10 и 2.11 вычисляются ма
т
рица коэффициентов
N

и вектор свободных членов
λ
.

Кроме того, вычисл
яется вектор контрольных сумм нормальных ура
в
нений



где



единичный вектор размерностью
k
×
1
.

Матрица
N



симметричная матрица, ее диагональные элементы пол
о
жительны. Ранг матрицы
N

равен числу необходимых измерений
k
,
поэтому
матрица
N



невырожденная матрица, ее можно обратить, вычислить матр
и
цу

такую, что


3
. Решение

системы нормальных уравнений и вычисление уравненных знач
е
ний
параметров.

Решить систему уравнений значит найти систему чисел, корней сист
е
мы уравнений, удовлетворяющих всем уравнениям системы. Корни системы
нормальных уравнений можно найти, обратив матрицу коэффициентов
N
,


(2.12)

В линейной ал
гебре разработано множество способов решения систем
линейных уравнений, любой из них можно применить для решения сист
е
мы 2.9.

Наиболее часто систему нормальных уравнений решают способом п
о
следовательного исключения неизвестных способом Гаусса или его м
од
и


12

фикациями. Способ Гаусса практически идеально использует особенности
матрицы коэффициентов нормальных уравнений и позволяет решить все з
а
дачи линейной алгебры, связанные с уравниванием:



вычисление корней,



решение систем уравнений, отличающихся тольк
о свободными
членами,



обращение матрицы коэффициентов,



вычисление
значения функции

корней системы уравнений, без в
ы
числения значений корней так называемая задача исключения л
и
нейной алгебры.

Вычислив вектор поправок
, находи
м уравненные параметры по
формуле 2.3


или в матричной записи

.

Если в качестве параметров были выбраны искомые величины
X
j
, то на
этапе
3

завершается решение первой задачи уравнивания


нахождение
уравненных значений искомых величин.


4
. Вычисление поправок
v
i

уравненных результатов измерений.

Вычисление поправок к результатам измерений и уравненных резул
ь
татов измерений


необязательный этап уравнивания параметрическим сп
о
собом, однако, выполнив эт
от этап, можно организовать контроль правил
ь
ности уравнивания.

По параметрическим уравнениям поправок вычисляется вектор попр
а
вок
v




Уравненные результаты измерений теперь можно вычислить двумя
способами

1)

по формуле 1.1



2)

по исходным параметрическим уравнениям 2.1

.


Результаты вычисления уравненных результатов измерений по форм
у
лам 1.1 и 2.1 должны совпадать.



13

5
. Определение точности уравненных параметров.

Обратная весовая матрица ур
авненных параметров равна матрице, о
б
ратной матрице коэффициентов нормальных уравнений


(2.13)

Обратить матрицу
N

можно на этапе решения системы нормальных
уравнений.

По диагонали

матрицы




обратные веса уравненных параме
т
ров

.


6
. Определение точности функций уравненных параметров.

Для определения точности уравненных значений элементов сети

значения этих элементов должны быть выражены как ф
ункции
уравненных параметров

.

(2.14)

Если обратная весовая матрица уравненных параметров вычислена, то
обратная весовая матрица уравненных значений величин

вычисляется по
обобщенной теореме оценки точности



(2.15)

Компоненты строк матрицы
F



частные производные заданных фун
к
ций по каждому из параметров


Если обратная весовая матрица

не вычислялась, то элементы ма
т
рицы

могут быть вычислены на этапе решения нормальных уравнений с
помощью вспомогательных неизвестных.


7
. Определение точности уравненных результатов
измерени
й
.

Определение точности уравненных результатов измерений


необяз
а
тельный этап уравнивани
я параметрическим способом. Обратная весовая
матрица уравненных результатов измерений равна


(2.16)



14

Далее решаем четвертую задачу уравнивания.

8
. Оценивание среднего квадратического отклонения
измерения с весом,
равным
единиц
е
.

Оценка среднего квадратического отклонения
измерения с весом, ра
в
ным 1,
по материалам уравнивания равна


(2.17)

В дальнейшем величину

будем
сокращенно
называть

средней
квадратической погрешностью единицы в
еса

.

При небольшом числе избыточных измерений

велика вероя
т
ность значительного отклонения оценки

от оцениваемой величины
,
поэтому оценивание по формуле 2.17 следует применять
при числе изб
ы
точных измерений не меньшем, чем 8
-
10, в противном случае при оценке
точности следует использовать
, соответствующее принятой методике
измерений.

Значение функции

можно вычислить и без вычи
сления п
о
правок

по так называемым контрольным формулам параметрического
способа, т.е.

,

(2.18)

.

(2.19)

При необходимости
оценку точности дополняют оцениванием

средних
квадратических
отклонений уравненных параметров


(2.20)

и функций уравненных параметров

,

(2.21)

где

и



обратные веса уравненных параметров и их функций,
расп
о
ложенные по
диагонал
и

матриц

и
.



15

3.

Составление параметрических уравнений поправок для о
с
новных видов геодезических измерений


Уравнивание геодезических измерений параметрическим способом
начинают с выбора параметр
ов, составления исходной системы уравнений
(
исходных
параметрических уравнений и составления параметрических
уравнений поправок,
т.е.

определения элементов матрицы коэффициентов
А
и вектора свободных членов
а
0
.


3.1.

Составление параметрических уравнений поправок в
высотных

геодезических сетях


В нивелирных сетях

измеренными величинами
являются превышения, в кач
е
стве
параметров
, как правило, принимаются высоты определяемых реперов.


Задание:

Составить параметрическое уравнение п
о
правок для превышения
h
i
, измеренного по
ходу, проложенному между двумя опред
е
ляемыми реперами рис. 3.1, если измере
н
ное превышение


а приближенные значения высот начал
ьного и конечного реперов


Вычислить:

1.

элементы матрицы
коэффициент
ов

a
ij
;

2.

значения
свободны
х

член
ов

a
i
0
.


Решение:

За параметры примем уравненные высоты начального и конечного реперов


Уравненное значение
превышения представим, как функцию уравненных
значений параметров


(3.1)


i

Рп
нач

Рп
кон

Рис. 3.1



16

Уравнение 3.1


исходное
параметрическое уравнение.

Коэффицие
н
ты

и

параметрического уравнени
я

поправок


(3.2)

представляют собой частные

производны
е

функции 
3
.1 по переменным


параметрам.
В

нивелирной сети
значения коэффициентов

равны 0


для репера, который не связан с данным превышением соотношением вида
(
3
.1, 1


для ко
нечного репера нивелирного хода, и 
-
1


для начального
репера. Для нивелирного хода, изображенного на рис.
3
.1, элементы матр
и
цы
А

равны


C
вободный член

параметрического уравнения поправок представля
е
т
со
бой разность между значением превышения, вычисленным по прибл
и
женным параметрам
,

и результатом измерения


Параметрическое уравнение поправок 
3
.2 имеет вид




3.2.

Составление параметрических уравнений поправок в
плановых

геодезических сетях


Задание 1:

Составить параметрическое уравнение
поправок для стороны
S
i

рис. 3.2, е
с
ли ее измеренное значение



а приближенные значения плановых координат начального и конечного
пунктов

П
нач

П
кон

S
i

Рис. 3.2




17


название
пункта

координаты


м


м

П
нач

6048,197

10437,928

П
кон

6838,259

10521,897

Вычислить:

1.

элементы матрицы
коэффициент
ов

a
ij
;

2.

значения
свободны
х

член
ов

a
i
0
.


Решение:

За параметры примем уравненные значения плановых координат начального
и конечного пунктов. Сторона
S
i

связана с координатами начального и к
о
нечного пунктов соотношением вида

.

(3.3)

В
исходное
параметрическое уравнение 3.3 входят только координаты н
а
чального и конечного пунктов стороны
S
i
, поэтому в параметрическом ура
в
нении поправок ненулевыми будут только
коэффициенты при поправках к
координатам начального и конечного пунктов

.
(3.4)

Частные производные функции 3.3 по аргументам


параметрам
равны



(3.5)

где



значение
дирекционн
ого

уг
ла

стороны
S
i
, вычисленн
ое

по прибл
и
женным значениям параметров



04′

0
0,2″.



18

C
вободный член параметрического уравнения поправок для стороны
S
i



(3.6)


где


Параметрическое уравнение поправок 3.4 для измеренной стороны
S
i

с
учетом 3.5 и 3.6 имеет вид


(3.7)

Если свободный член в 3.7 выразить в сантиметрах, то в сантиметрах б
у
дут выражаться и поправки в длины сторон

и координаты

и
.
Уравнений вида 3.7 в сети будет столько, сколько измерено сторон.


Задание 2:

В условиях предыдущего задания составить параметрическое уравнение п
о
правок для измеренного дирекционного угла

рис. 3.2, если результат
измерения равен

=



04′

03,8″.

Вычислить:

1.

элементы матрицы
коэффициент
ов

a
ij
;

2.

значения
свободны
х

член
ов

a
i
0
.


Решение:

Исходное п
ара
метрическое уравнение для дирекционного угла имеет вид


(3.8)

Параметрическое уравнение поправок


(3.9)

в этой записи предполагает
ся
, что угловые величины

выражены в р
а
дианах.
Частные производные функции 3.8 по координатам начального и
конечного пунктов



19


(3.10)

умножены на

для того, чтобы свободный член и поправку в дирекцио
н
ный угол выра
зить в угловой мере, в секундах
.
Зна
чение стороны
, в
ы
численное по приближенным координатам определяемых пунктов, должно
быть выражено в сантиметрах, чтобы поправки в координаты определяемых
пунктов также выражались в сантиметрах.
Свободный

член параметрич
е
ского ура
внения поправок для дирекционного угла
, выраженный в с
е
кундах, равен


(3.11)

Введем обозначения


(3.12)

Тогда параметрическое уравнение поправок для дирекционного угла
примет

вид


(3.13)

Для дирекционного угла
6º

04′

0
0
,
2



(3.14)

С учетом 3.11 и 3.14 параметрическое уравнение поправок 3.13
примет
вид



20

4
.

Уравнивание
нивелирной сети параметрическим способом


Задание:

Уравнять параметрическим способом нивелирную сеть, схема которой из
о
бражена на рис. 4.1.



Вычислить
:

1.

уравненные высоты определяемых реперов
Рп
1,
Рп
2 и
Рп
3;

2.

уравненные превышения

с контролем.

Оценить точность:

1.

измерений
найти среднюю квадратическую погрешность на один к
и
лометр хода
;

2.

уравненных высот определяемых реперов
найти обратную весовую
матрицу и средние квадратические погрешнос
ти

уравненных
отм
е
ток
реперов
)
;

3.

уравненных превышений
найти обратные веса и средние квадрат
и
ческие погрешности

уравненных превышений
)
.

Выписать следующие результаты промежуточных вычислений:

1.

матрицы коэффициентов и векторы свободных членов параметрич
е
ских

уравнений поправок и нормальных уравнений,

2.

поправки к параметрам и результатам измерений.

Исходные данные

помещены в табл. 4.1
и считаются безошибочными.
Результаты измерений

и длины нивелирных ходов
S
i

представлены в та
б
лице 4.2.


Таблица 4.1

Высоты исх
одных реперов


название
репера

высота, м

А

171,632

В

152,220

Рис. 4.1



21

Таблица 4.2

Результаты измерений


Номер хода

i

И
змеренные

превышения
h
i
, м

S
i
, км


1

2

3

4

1

-
22,381

10,1

0,99

2

10,444

7,7

1,30

3

7,499

11,0

0,91

4

-
2,562

13,0

0,77

5

-
13,064

11,6

0,86


Точность измеренных превышений характеризуется их весами
p
. Если
за
единицу веса принять точность измерения превышения по
ходу

длиной

в
С

километров, то


(4.1)

В нашем случае за единицу веса принята точность измерения превышения
по ходу длиной 10 км. Тогда формула 4.1 примет вид:


(4.1
*
)

Вычисленные по формуле 4.1
*
 веса выпишем в 4
-
ый столбец таблицы 4.2.

Количество измеренных превышений

n
5. Число необходимых изм
е
рений
k
3, число избыточных измерений
r
=

n



k

=2.


1.1.

Выбор параметров
t
j
.
C
оставление
исходных
параметрических уравнений
.

За параметры примем
уравненные

высоты трех определяемых реперов


Приближенные значения параметров

определим по кратчайшим х
о
довым линиям


(4.2)



22

и

выпишем в колонку 3 таблицы 4.3

столбцы
4
-
6
заполняем в процессе
уравнивания
.

Таблица 4.3

Параметры


параметр

элемент

сети


τ
j



в см

1

2

3

4

5

6

t
1


149,251 м

0,38 см

149,254 м

1,8
3

t
2


159,719 м

-
0,42 см

159,715 м

1,
86

t
3


146,689 м

-
1,83 см

146,671 м

2,5



Для того чтобы составить
исходные
параметрические уравнения,
уравненное значение каждой измеренной величины следует представить как
функцию уравненных значений параметров:

.

(4.3)

1.2.

C
оставление параметрических уравнений поправок.


Система параметрических уравнений поправок представляет собой 5 ура
в
нений вида
:


(4.4)

или в матричной записи

.

(4.4*)

а

вычисление

вектора свободных членов параметрических уравнений п
о
правок.

C
вободные члены параметрических уравнений поправок представляют с
о
бой разность между значениями превышений
, вычисленными по пр
и
ближенным параметрам, и результатами измерений
:



23


(4.
5
)

В соответствии с размерностями, в которых выражены свободные члены, п
о
правки

в измеренные величины и

в

приближенные значения параметров будут п
о
лучены в сантиметрах.

б

составление матрицы коэффициен
тов параметрических уравнений п
о
правок.

Коэффициенты параметрических уравнений поправок
представляют собой

частны
е

производны
е
функций 4.3 по переменным


параметрам. Для н
и
велирной сети, изображенной на рис. 4.1, элементы матрицы
А

равны знач
е
ниям,
представленным в таблице 4.4. Таблицу 4.4 дополним значениями
свободных членов параметрических уравнений поправок. В колонку 6 та
б
лицы 4.5 поместим
значения
элемент
ов

вектора

контрольных сумм
, ра
в
ные сумме коэффициентов и свободн
ых членов соответствующего параме
т
рического уравнения поправок

.

(4.6).

В матричной
записи

формула 4.6 примет вид


(4.6
*
)


Таблица 4.4.


Матрица коэффициентов и вектор свободных членов

параметрических урав
нений поправок


i

Матрица
А

Свободные члены,

a
i
0

в см

Контрольные
суммы,
a
i
s

a
i
1

a
i
2

a
i
3

1

2

3

4

5

6

1

1

0

0

0

1,
0

2

-
1

1

0

2,4

2,4

3

0

1

0

0

1,0

4

-
1

0

1

0

0,0

5

0

-
1

1

3,4

3,4



24

2.

Составление системы нормальных уравнений
:



(4.
7
)

По формулам 2.10 и 2.11 вычислим матрицу коэффициентов и ве
к
тор свободных членов нормальных уравнений


где матрица
P



матрица весов результатов измерений:


Для матричных вычислений можно
использовать любую стандартную программу, по
д
держивающую действия с матрицами, например
Excel

см. Приложение.

Результаты вычислений оформим в виде таблицы 4.5


Таблица 4.5

Матрица коэффициентов и вектор свободных членов

нормальных уравнений


j

Матрица коэффициентов

нормальных уравнений
N

Вектор
свободных
членов
λ

Контрольные
суммы,
s
j

1

2

3

4

5

6

1

3,060

-
1,300

-
0,770

-
3,120

-
2,130

2


3,070

-
0,860

0,196

1,106

3



1,630

2,924

2,924

Матрица коэффициентов нормальных уравнений симметрична
относительно главной
диагонали, что позволяет в таблицу 4.5 выписать только правую верхнюю часть ма
т
рицы
N
.


Э
лемент
ы

вектора контрольных сумм
, представляющие собой сумму коэ
ф
фициентов и свободного члена соответствующего нормального уравнения
,


,

(4.8)

выпишем
в

столбец 6 таблицы 4.5
.

В матричной записи формула 4.8
имеет

вид


(4.8
*
)



25

3.1

Решение системы нормальных уравнений.

Решив систему нормальных уравнений, найдем вектор поправок
к

п
а
раметр
ам
:

,

где





обратная весовая матрица уравненных параметров

.

Результаты вычислений
τ
j

выпишем в 4
-
ю колонку табл. 4.3. Элементы, ра
с
положенные по главной диагонали матрицы
Q
t

таблица
4.6, представляют
собой обратные веса
уравненных параметров.


Решать систему линейных уравнений можно любым способом линейной алгебры, н
а
пример, с
пос
обом последовательн
о
го исключения неизвестных.


Таблица 4.6

Обратная весовая матрица
Q
t

уравненных параметров


параметр

элемент

сети

о
братная весовая матрица
Q
t





1

2

3

4

5

t
1


0,6315

0,4119

0,5156

t
2



0,6508

0,5379

t
3




1,1409


Обратная весовая м
атрица
уравненных параметров

симметрична относительно гла
в
ной диагонали, что позволяет в таблицу 4.
6

выписать только правую верхнюю часть
матрицы
Q
t
.



3.2

Вычисление уравненных значений параметров

.

Результаты вычислений
выпишем в 5
-
ый столбец табл. 4.3.


4.1.


Вычисление поправок
v
i

к

результат
ам

измерений.

Подставив в формулу 2.7
*
 определенный на предыдущем этапе ве
к
тор
, вычислим вектор
поправок
к

измеренны
м

величин
ам


.

Полученные значения поправок выпишем в 3
-
ю колонку табл. 4.7.



26

4.2.


Вычисление уравненных превышений. Контроль уравнивания.

Вычислим по формуле 1.1 уравненные значения измеренных величин


и заполним 4
-
ю колонку табл. 4.7.

Подставив в
исходные
параметрические уравнения 4.3 уравненные
значения параметров, получим
контрольные значения

превышени
й

колонка
6 табл. 4.7. Вычисленные двумя способами значения превышений 4
-
я и 6
-
я
колонки табл. 4.7 должны совпасть в пределах точности вычислений.


Таблица 4.7

Вычисление уравненных результатов измерений,

оценка их точности и контроль уравнивания


i

h
i
,

м

v
i
,

см

,

м

Контроль уравнивания

,

см

формула

, м

1

2

3

4

5

6

7

1

-
22,381

0,38

-
22,377


-
22,378

1,8
3

2

10,444

1,60

10,460


10,461

1,
5
6

3

7,499

-
0,42

7,495


7,495

1,
86

4

-
2,562

-
2,22

-
2,584


-
2,583

2,0

5

-
13,064

1,98

-
13,044


-
13,044

2,0


5
.

Оценка точности элементов сети.

5.1.

Оценка
точности измерений.

а
вычисление суммы

по основной и контрольным формулам


б

По формуле Бесселя вычислим среднюю квадратическую погрешность
единицы веса
, которая характеризует точ
ность превышения, полученного по
ходу длиной
С

км 
С
=10),




27

Определенное по формуле Бесселя значение средней квадратической п
о
грешности единицы веса в нашем случае нельзя считать надежным из
-
за м
а
лого числа избыточных измерений.


в
вычисление средней квадратической погрешности на один километр н
и
велирного хода.

Вес превышения по ходу длиной 1 км,
согласно формуле 4.1
*
)
,

равен
С
, т
о
гда

средняя квадратическая погрешность на километр хода


5.2.

Оценка точности ура
вненных параметров.

Средние квадратические погрешности уравненных высот определяемых
реперов связаны с их обратными весами 
табл. 4.6
соотношением
(2.20)


Результаты вычислений выпишем в 6
-
ю колонку таблицы 4.3. Средняя
квадратическая погрешность уравненной высоты Рп
3
, равная 2,5 см, дает
представление о точности в слабом месте данной нивелирной сети.

Следует отметить, что в нашем случае вычисление средних квадратич
е
ских погрешностей уравненных высот реперов с помощью ве
личины

не п
о
зволяет получить надежные результаты из
-
за малого числа избыточных изм
е
рений. Оценку точности уравненных высот реперов можно ограничить пол
у
чением их обратных весов
.

Е
сли требуется определить их средние квадратич
е
ские

погрешности
,

для вычислений используют значение среднего квадрат
и
ческого отклонения единицы веса, соответствующее методике измерений
:


5.3.

Оценка точности функций уравненных параметров.

а
выбор функций уравненных параметров.

В
качестве элементов хода, точность которых после уравнивания следует
оценить, возьмем уравненные значения превышений.


б

составление матрицы
F

коэффициентов функций.

В соответствии с выбором функций матрица
F

частных производных фун
к
ций совпадет в этом случае с матрицей
А

коэффициентов параметрических
уравнений поправок.


в
вычисление обратной весовой матрицы уравненных превышений.

.



28

Матрицу

выпишем в таблицу 4.8.

Таблица 4.8

Обратная весовая матрица

уравненных превышений


i

Обратная весовая матрица







1

2

3

4

5

6

1

0,6315

-
0
,
2197

0
,
4119

-
0,1159

0,1038

2


0
,
4586

0,2390

0,2420

-
0,2167

3



0,6508

0,1261

-
0,1129

4




0,7412

0,4992

5





0,7158


Обратная весовая м
атрица
уравненных превышений

симметрична относительно гла
в
ной диагонали, что позволяет в таблицу 4.
8

выписать только правую верхнюю часть
матрицы
.



г
вычисление средних квадратических погрешностей функций уравненных
параметров
.

Согласно формуле 2.21


Средние квадратические погрешности уравненных превышений выпишем в
7
-
ю
колонку табл. 4.7.

Средняя квадратическая погрешность превышения по самому длинн
о
му ходу
4

до уравнивания
была
равна


Средняя квадратическая погрешность превышения
4

после уравнивания ст
а
ла равной


Следовательно,

в результате уравнивания точность
измеренных величин п
о
высилась
.



29

5.

Уравнивание обратной многократной засечки по направлениям п
а
раметрическим способом


Задание:

Уравнять параметрическим способом о
б
ратную
многократную засечку, схема кот
о
рой изображена на рис. 5.1. За измеренные
величины принять независимо измеренные
направления

r
i

рис. 5.2.

Вычислить:

1.

уравненные координаты
x

и
у

опред
е
ляемого пункта;

2.

уравненные направления

с контр
о
лем.

Оценить точность:

1.

измеренных направлений
найти среднюю ква
д
ратическую погрешность
;

2.

уравненных координат определяемого пункта
найти обратные веса и средние квадратические
погрешности
;

3.

функ
ций уравненных параметров, в качестве
функций взять уравненные значения дирекцио
н
ного угла и длины стороны
Р
-
3

найти обратные
веса и средние квадратические погрешности
.

Выписать следующие результаты промежуточных вычислений:

1.

матрицы коэффициентов и векто
ры свободных членов параметрич
е
ских уравнений поправок и нормальных уравнений,

2.

поправки к параметрам и результатам измерений.

Исходные данные

помещены в таблицу 5.1 и считаются безошибочн
ы
ми.
Результаты измерений

представлены во втором столбце таблицы 5.2

последующие столбцы табл. 5.2 заполняются в процессе уравнивания
.


Таблица 5.1

Исходные данные

название
пункта

координаты

x
i

м

y
i

м

1

2

3

1

7038,259

10021,897

2

8931,452

11982,156

3

8089,743

14591,085

4

5647,209

14038,842

5

4201,839

13471,423

1

2

3

4

5

P

Рис. 5.1

1

i

z

r
i

α
i

Рис. 5.2



30

Таблица 5.2

Измеренные величины



i

измеренные
направления

r
i


уравненные

направления


контроль



1

2

3

4

5

6

1



00º


00'

00,0"

0,61"


00º

00'

00,6"


292º 17' 02,4"


00º 00' 00,7"

2


58

44

02,4

0,46


58

44

02,9


351 01 04,7


58


44 03,0

3

114

14

27,2

-
1,65

114

14

25,6


46 31 27,3

114


14 25,6

4

171

46

35,7

1,42

171

46

37,1


104 03 38,8

171


46 37,1

5

218

28

39,1

-
0,84

218

28

38,3


150 45 40,0

218


28 38,3


Все направления измерены равноточно, измеренным направлениям
присвоим вес, равный единице
:

. В этом случае средняя квадратич
е
ская погрешность единицы веса равна средней квадратической
погрешности
измерения направлений
.

Количество измеренных величин
n
5. Для определения
приближенных
координат пункта
P

необходимо измерить направления на три исходных
пункта. Число необходимых измерений
k
3, избыточных измерений
r
=
2.


1.1
.

Выбор параметров
t
j
.
Составление
исходных
параметрических уравн
е
ний
.

Число параметров равно числу необходимых измерений. За параметры
примем координаты определяемого пункта и ориентирующий угол
z
, ра
в
ный дирекционному углу
начального направления

рис. 5.2


Приближенные значения
x
0

и
y
0

координат определяемого пункта
,

п
о
лученные из решения обратной однократной засечки, равны соответственно
6048,197 и 12437,928 м
.
Дирекционный угол начального направления
мо
же
т
быть

вычислен п
о формуле
вида


(5.1)

В качестве приближенного значения ориентирующего угла используем
среднее из полученных по формуле 5.1 значений. Результаты вычисления


31

приближенных
значений
дирекционных углов

и ориентирующего угла
z
0

поместим в таблицы 5.3 и 5.4.

Таблица 5.3

Вычисление элементов матрицы
А


элемент сети

i


1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

y
i

10021,897

11982,156

14591,085

14038,842

13471,423

y
0

12437,928


-
2416,031

-
455,772

2153,157

1600,914

1033,495

x
i

7038,259

8931,452

8089,743

5647,209

4201,839

x
0

6048,197


990,062

2883,255

2041,5460

-
400,988

-
1846,358


-
2,440283

-
0,158076

1,054670

-
3,992424

-
0,559748


292º16'59,7"

351º01'02,1"

46º31'26,9"

104º03'42,6"

150º45'43,8"


-
0,925321

-
0,156137

0,725664

0,970034

0,488436


0,379186

0,987735

0,688049

-
0,242969

-
0,872600


2611,021

2919,056

2967,153

1650,369

2115,928


2611,021

2919,056

2967,153

1650,369

2115,928


-
0,731

-
0,110

0,504

1,212

0,476


-
0,300

-
0,698

-
0,478

0,3
0
4

0,8
5
1


Таблица 5.4

Вычисление приближенного значения
ориентирующего угла и свободных
членов параметрических уравнений поправок


i


r
i




1

2

3

4

5

6

1

292º

16'

59,7"


00º

00'

00,0"

292º

16'

59,7"


359º

59'

57,6"


-
2,4
"

2

351º

01'

02,1"


58

44

02,4

292
º

16
'

59
,
7
"


58

44

00,0

-
2,4

3

46º

31'

26,9"

114

14

27,2

292
º

16
'

59
,
7
"


114

14

24,8

-
2,4

4

104º

03'

42,6"

171

46

35,7

292
º

17
'

06
,
9
"


171

46

40,5

+4,8

5

150º

45'

43,8"

218

28

39,1

292º

17'

04,7"


218

28

41,7

+2,6

Среднее значение





0,2




32

Приближенные значения параметров

выпишем в таблицу 5.5.

Последу
ю
щие колонки таблицы 5.5 заполняем в процессе уравнивания.


Таблица 5.5

Параметры


параметр

элемент
сети


τ
j




1

2

3

4

5

6

7

t
1

z

292º1
7
'
02
,
1
"

-
0,
37
"

292º

17'

01,7"

0,26

1,5"

t
2

x

6048,197 м

-
2
,
29 c
м

6048,174 м

0,62

2,4см

t
3

y

12437,928 м

-
3,
2
0 c
м

12437,896 м

0,83

2,7см



Для того чтобы составить
исходные
параметрические уравнения,
уравненное значение каждой измеренной величины следует представить как
функцию уравненных значений параметров:


(5.2)

i
1, 2, …
n
.


1.2.

Составление параметрических
уравнений поправок.

Система параметрических уравнений поправок представляет собой
n

ура
в
нений вида


Воспользуемся следующими обозначениями


тогда
параметрические уравнения поправок примут вид


(5.3)

а

вычисление коэффициентов параметрических уравнений поправок.

Частные производные функций 5.2 по параметрам равны



33


(5.4)

В 5.3 предполагается, что приращения угловых величин


аргумента
,
п
оправки

и функции

выражены в радианах. Для того чтобы эти
величины, как это и принято в геодезии, были выражены в секундах, каждое
из уравнений 5.3 должно быть умножено на
. Если длины сторон

выразить в сантиметрах, то и поправки

и

в координаты будут выр
а
жаться в сантиметрах. Формулы 5.4 для вычисления коэффициентов пар
а
метрических уравнений п
оправок примут вид


(5.5)

где

Дополним таблицу 5.3 р
езультат
ами

вычислений
элементов матрицы
A
.


б

вычисление

свободных членов параметрических уравнений поправок.

C
вободные члены параметрических уравнений
поправок представляют с
о
бой разность между значениями направлений, вычисленными по прибл
и
женным параметрам, и результатами измерений:


(5.6)

где


Приближенные значения дирекционных углов


и ориентирующего угла
z
0

возьмем из табл. 5.3 и 5.4, заполним 5
-
ю и 6
-
ю колонки табл. 5.4.

В табл. 5.6 выпишем коэффициенты и свободные члены параметрич
е
ских уравнений поправок. Вычислим вектор контрольных сумм параметр
и
ческих уравнений поправок




34



15

Элементы вектора контрольных сумм
, представляющие собой сумму коэ
ф
фициентов и свободных членов соответствующего параметрического ура
в
нения поправок


поместим в последний столбец таблицы 5.6.

Таблица 5.6

Матрица
коэффициентов

А

и вектор свободных членов
a
0

параметрических уравнений поправок

i

a
i
1

a
i
2

a
i
3

a
i
0

Контрольные
суммы,
a
is

1

2

3

4

5

6

1

-
1

-
0,731

-
0.300

-
2,4
"

-
4,431

2

-
1

-
0,110

-
0.698

-
2,4

-
4,208

3

-
1

0,504

-
0,478

-
2,4

1,426

4

-
1

1,212

0,304

+4,8

5,316

5

-
1

0,476

0,851

+2,6

2,927

Размерности, принятые при составлении параметрических уравнений поправок, опр
е
деляют размерность поправок в результаты измерений угловые секунды и параме
т
ры сантиметры


для координат определяемого пункта, угловые секунды


для
дире
к
ционного угла начального направления
).


2.

Составление системы нормальных уравнений.


Перейдем к системе нормальных уравнений


(5.5)

По формулам 2.10 и
2.11 вычислим матрицу коэффициентов и ве
к
тор свободных членов нормальных уравнений

N
=
A
T
A
,

λA
T
a
0
.

Т.к. все направления в нашем случае измерены равноточно и независимо, а веса н
а
правлений приняты за единицу, матрица Р представляет собой диагональную мат
рицу
P
=
E
,
что позволило упростить формулы 2.10 и 2.11.

Для матричных вычислений можно использовать любую стандартную программу,
поддерживающую действия с матрицами, например
Excel

см. Приложение.


Результаты вычислений оформим в виде таблицы

5.7. В

с
толбец 6 таблицы
5.7 выпишем значения элементов вектора контрольных сумм нормальных
уравнений




35

представляющие собой сумму коэффициентов и свободного члена соотве
т
ствующего нормального уравнения



Таблица 5.7

Матрица коэффициентов и вектор свободных членов

нормальных уравнений

j

Матрица коэффициентов нормал
ь
ных уравнений
N

Вектор св
о
бодных чл
е
нов
λ

Контрол
ь
ные су
м
мы,
s
j

1

2

3

4

5

6

1

2,496

0,829

-
1,351

7,864

9
,
838

2


1,622

0,321

7,214

9,986

3



5,000

-
0,200

12,985

Для всех симметричных матриц в таблицы выписываем только правую верхнюю часть
матрицы.


3.1.

Решение системы нормальных уравнений.

Решив систему нормальных уравнений, найдем вектор поправок


и выпишем
его в столбец 4 таблицы 5.5.

Обратив матрицу коэффициентов нормальных уравнений, получим о
бра
т
н
ую

весов
ую

матриц
у

уравненных параметров
таблица 5.8

.

Таблица 5.8

Обратная весовая матрица
Q
t

уравненных параметров


параметр

элемент

с
ети

о
братная весовая матрица
Q
t





1

2

3

4

5

t
1

z

0,
2612

0,
1900

-
0,1492

t
2

x


0,6220

-
0,3555

t
3

y



0,8275


Элементы, расположенные по главной диагонали матрицы
Q
t
,

представляют
собой обратные веса уравненных параметров 6
-
ой столбец табл. 5.5.




36

3.2.

Вычисление уравненных значений параметров

.

Результаты вычислений выпишем в 5
-
ый столбец табл. 5.5.


4.1.

Вычисление поправок

к

результат
ам

измерений.

Подставив в формулу 2.7
*
 определенный на предыдущем этапе вектор
,
вычислим
вектор поправок в измеренные величины

.

Полученные значения поправок выпишем в 3
-
ю колонку табл. 5.2
.


4.2.

Вычисление уравненных направлений. Контроль уравнивания.

Вычислим по формуле 1.1 уравненные значения измеренных величин


и заполним 4
-
ю колонку табл. 5.2.

Второй раз уравненные результаты измерений получим по параметр
и
ческим уравнениям 5.2



где

,

;










Таблица 5.9

Вычисление уравненных дирекционных углов

элемент сети

i

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6


10021,897

11982,156

14591,085

14038,842

13471,423

y

12437,896


-
2415,999

-
455,740

2153,189

1600,946

1033,527


7038,259

8931,452

8089,743

5647,209

4201,839

x

6048,174


990,085

2883,278

2041,569

-
400,965

-
1846,335


292º17'02,4"

351º01'04,7"

46º31'27,3"

104º03'38,8"

150º45'40,0"




37

Полученные значения уравненных дирекционных углов выпишем в 5
-
ю
колонку
табл. 5.2, затем по формуле 5.2 вычислим уравненные направления
как функцию уравненных параметров 6
-
я колонка табл. 5.2..


5.1

Оценка точности измерений.

а
вычисление суммы


по основной


и

контрольным


формулам



б

По формуле Бесселя вычислим
оценку среднего квадратического откл
о
нения единицы веса 
среднюю квадратическую погрешность измерения н
а
правлени
й
)


Следует отметить, что в нашем
случае определенное по формуле Бесселя зн
а
чение

не будет надежным из
-
за малого числа избыточных измерений.


5.2

Оценка точности уравненных значений параметров.

Точность уравненных значений параметров характеризуют их веса, к
о
торые мы выписали
в 6
-
ю колонку табл. 5.5, и средние квадратические п
о
грешности

.

Средние квадратические погрешности уравненных параметров вып
и
шем в 7
-
ю колонку таблицы 5.5.


5.3

Оценка точности уравненных результатов измерений.

Получим

о
братную весовую матрицу уравненных направлений по
формуле

.

Результаты вычислений оформим в виде таблицы:



38



15

Таблица 5.10


Обратная весовая матрица

уравненных направлений


i

Обратная весовая матрица







1

2

3

4

5

6

1

0,7016

0,3030

0,0075

-
0,2483

0,2362

2


0,4510

0,3585

0,0461

-
0,1586

3



0,4445

0,3188

-
0,1292

4




0,6173

0,2661

5





0,7856


5.4.

Оценка точности функций уравненных параметров.

а
выбор функций уравненных параметров.

В качестве элементов, точность которых после уравнивания следует оц
е
нить, возьмем дирекционный угол и длину стороны
P
-
3:


б

составление матрицы
F

коэффициентов функций.

Д
ля вычисления частных производных


воспользуемся формулами 3.5 и 3.10:

Таблица 5.11


Частные
производные функций уравненных параметров


u
α

t
1

t
2

t
3

z

x

y

1

2

3

4


0




0




Значения частных производных 
3
-
я и
4
-
я колонки табл. 5.11 возьмем из
табл. 5.3:



39



15


Таблица 5.12

Оценка точности функций уравненных параметров



α

Матрица
F

коэффициентов функций






f
α1

f
α2

f
α3

1

2

3

4

5

6

1

0

0,504

-
0,478

0,52

1,2
"

2

0

-
0,6880

-
0,7257

0,37

1,0 см


в
получение обратной весовой матрицы функций уравненных параметров:

.

Обратные веса,
расположенные по главной диагонали полученной матрицы,
выпишем в 4
-
ую колонку табл. 5.12.


г
вычисление средних квадратических погрешностей функций уравненных
параметров

.

(5.6)

Средние квадратические погрешности функций уравненных
параметров в
ы
пишем в 5
-
ю колонку табл. 5.12.
При использовании результатов уравнив
а
ния для определения стороны и дирекционного угла направления
Р
-
3

мы
получим эти величины с точностью, характеризуемой погрешностями, в
ы
численными по формуле 5.6.



ЛИТЕРАТ
УРА


1.

Большаков В.Д., Маркузе Ю.И. Практикум по ТМОГИ.


М.:
Ал
ь
янс
,
2007
.

2.

Маркузе Ю.И. Метод наименьших квадратов и уравнивание геод
е
зических сетей.


М.: Изд
-
во МИИГАиК, 2005.



40

Приложение


Использование электронных таблиц
Microsoft

Excel

для вычислений с

массивами и матрицами.


Вычислительные операции с массивами векторами и матрицами тр
у
доемки, целесообразно проводить их, используя современную вычислител
ь
ную технику. Так как в большинстве ПЭВМ используется операционная
система
Microsoft

Windows
,
рассмотрим, как использовать для работы с ма
с
сивами встроенные функции электронных таблиц
Excel
.


Все используемые в вычислениях объекты числа, векторы, матрицы
записываются в определенных
диапазонах

листов
Excel
.

Массив

матрица, имеющий
n

строк и
m

с
толбцов, рассматривается
как диапазон размерностью
n
×
m
.

Вектор
-
столбец
, массив, имеющий один
столбец

и
n

строк
, рассматривается как диапазон размерностью
n
×1,
вектор
-
строка
, массив, имеющий одну строку

и
m

столбцов
,


как диапазон ра
з
мерностью 1×
m
, ячейка


как массив диапазон размерностью
1
×
1.


В формулах указываются
адреса

аргументов, адреса диапазонов, с
о
держащих необходимые для вычисления исходные данные.

Адрес ячейки

в
Excel
е может записываться в разных форматах.

Адрес
ячейки в формате A1 состоит из
имени столбца и номера строки например,
A1, A8, C4, F
A
2, …, в формате R1C1


из символа R и номера строки
,

си
м
вола C и номера столбца например, R1C1, R8C1, R4C3, R2C53, ….

Адрес диапазона

состоит из адреса верхней левой ячейки, двоеточия,
адреса право
й нижней ячейки, например, матрица


A1:3, вектор
-
столбец


B2:B4, вектор
-
строка


D3:G3.

Ввести адрес диапазона в формулу указать ссылку на него можно,
набирая адрес на клавиатуре, или же, выделив диапазон и нажав клавишу
Enter

Ввод, для ввода адре
са ячейки достаточно просто щелкнуть по ней.


Однако гораздо удобнее каждому диапазону присвоить уникальное
имя

и в формулах адрес диапазона ссылку на диапазон задавать его им
е
нем.

Будем применять при вычислениях именно этот прием указания ссылки
на диа
пазон.


Замечание.

Как и все приложения
Microsoft
электронные таблицы
Excel

имеют
удобную

систему справок. Путь к справке об использовании именованных диапазонов

следу
ю
щий
:

Micoof Exce → Вызов справки Exce ? → Основы работы с формулами и именами →
Работа с именами → Использование имен для уточнения формул → Дополнительно об
использовании имен, Синтаксические правила для имен, …




41

Правила формирования имени диапазона.

1.

Имя диапазона может включать буквы, цифры, символ подчеркива
ния 

_

),

символ косая

обратная черта 
\

)
, символ точка  . 
. Хотя допустимо и
с
пользовать символы латиницы и кириллицы, задавать имя диапазона б
у
дем
,

используя только латиницу.

2.

Пробелы в имени диапазона не допускаются.

3.

Первый символ имени должен быть буквой, символом подчер
кивания,
косой обратной чертой.

4.

Нельзя использовать в качестве имени адрес ячейки, нельзя использовать
символы "R", "", "C", "c" в качестве определенного имени, так как
Excel
воспринимает их как строку или столбе
ц имени ячейки в формате R1C1.

5.

Длина имени


до 255 символов.

6.

Excel

не различает

регистра в именах. Однако во многих случаях для
большей наглядности удобно использовать в именах диапазонов стро
ч
ные и прописные буквы, например, в именах диапазонов с высотами р
е
перов использовать прописную букву
H
, а с превышениями


строчную
букву
h
.

7.

По умолчанию

область действия имени диапазонов


все листы книги.
Поэтому имя диапазона должно быть уникальным во всей книге, на
разных листах книги нельзя задавать диапазонам одинаковые имена.


В Exce можно, если э
то надо, ограничить область действия имени диапазона ли
с
том книги.


Рекомендуемый порядок задания имени диапазону.

1.

Выделить диапазон.

2.

В строке формул щелкнуть в крайнем левом поле, в котором указан адрес
первой ячейки выделенного диапазона. Адрес яч
ейки отойдет влево и будет
записан белыми символами на темном фоне.

3.

Ввести в поле уникальное имя диапазона.

4.

Нажать клавишу
Enter
.


Рассмотрим подробно
операции с массивами
.

1.

На листе
Excel

должны быть введены данные во все, участвующие в оп
е
рации
,

массивы.

2.

На листе выделяется диапазон, в который будет записан результат опер
а
ции.

3.

В

выделенный диапазон записывается соответствующая формула. При
вводе формул можно использовать
Мастер Функций
, списки последов
а
тельно используемых встроенных функций

и имен диапазонов.

В
Excel

2003 допускается использование до 7 вложенных функций.

4.

Нажимаются три клавиши CShifEne.

При операциях с массивами ввод формулы
ВСЕГДА

должен заве
р
шаться нажатием трех клавиш CShifEne

5.

В выделенном диапазоне
-
результате появляется результат вычисления.



42

Имена функций и диапазонов в формулах можно вводить строчными
буквами. Если имена введены правильно,
Excel

после выполнения операции
вернет имя функции прописными буквами, имя диапазона


в заданном
формате.


В
ведение терминов


массив
,
матрица



связано с тем, что для этих
объектов ряд математических операций не совпадает, например, по разным
правилам выполняется умножение массивов и матриц, для массивов опред
е
лено возведение в дробную степень понятие "дробная

степень матрицы"
определено только для диагональной матрицы.


Рассмотрим несколько примеров выполнения операций с массивами и
матрицами. В приведенных примерах на листе
Excel

результаты вычислений
не округляются. Число выводимых на экран/печать десятичны
х знаков зад
а
ется в окне
Формат ячейки

или определяется заданной шириной ячей
ки:

Excel

"сам округляет" число только в поле вывода.


Пусть задано шесть массивов
A
,
B
,
C
,
D
,
F
,
P
:

Запишем их в диапазонах листа
Excel

и зададим диапазонам уникал
ь
ные имена,
добавив перед именем массива символ "
m
"

таблица 1
).



Таблица 1.


Массив

Размерность

Диапазон

Имя

A

3×2

A8:B10

mA

B

3×2

D8:E10

mB

C

3×2

G8:H10

mC

D

2
×
4

A13:D14

mD

P


3

A17:C19

mP

F


3

E17:G19

mF


Хотя
Excel

"умеет" преобразовывать если это возможно формат ячеек
в соответствии с заданной формулой, убедитесь, что формат ячеек всех ди
а
пазонов с введенными данными


числовой.

На рисунке 1 представлен вид
окна программы с введенными массивами и последующими дей
ствиями с
ними.


1 Умножение и деление массива матрицы на число.

Формулы

Excel
:

числоссылка_на_массив

или
ссылка_на_массивчисло

ссылка_на_массив
/число

Размерность результата равна размерности исходного массива.



43



Рисунок
1


Пример 1.1
.

Умножить массив
A

на число 2,5
.

Размерность результата 3×2
.

а
В
ыделим диапазон результата: A28:B30
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
=2,5*
mA

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 1


2,5

0

-
2,5

2,5

0

-
2,5



44

б Выделим диапазон результата: 28:E30
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
=
mA
*2,5

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 1


2,5

0

-
2,5

2,5

0

-
2,5


Пример

1.2
.

Разделить массив
A

на число 2,5
.

Размерность результата 3×2
.

Выделим диапазон результата: G28:H30
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
=
mA
/
2,5

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис.

1)


0,4

0

-
0,4

0,4

0

-
0,4



2 Суммирование массивов матриц
.


Ф
ормула
Excel
:
±массив1±массив2±…

Суммировать можно только массивы одной размерности. Результ
и
рующий массив имеет ту же размерность, что и слагаемые.


Значение элемента суммы с индексом 
i,j
 равно сумме элементов сл
а
гаемых с индексами 
i,j
).


Пример 2.1.

Найдем сумму массивов
A
+
B
.

Размерность слагаемых и результата 3×2
.

Выделим диапазон результата: A37:B39
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
=
mA+mB

;


н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 1


3,00

1,00

1,00

4,00

2,00

3,00


Пример 2.2
. Найдем сумму массивов
A

B
+
С
.

Размерность слагаемых и результата 3×2
.

Выделим диапазон результата: 37:E39
;

з
апишем в
выделенном диапазоне формулу:

=
mA
-
mB+mC

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.



45

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 1








3 Транспонирование массива матрицы
.

Ф
ормула
Excel
:
ТРАНСПссылка_на_исходный_массив

Если размерность исходного массива
m
×
n
, размерность результата
n
×
m
.


Пример 3.1.

Транспонирование массива
A
.

Размерность транспонируемого массива 3×2.

Размерность результата
транспонированного массива 2×3
.

Выделим диапа
зон результата: B46:47
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
ТРАНСПA

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 1


1,00

-
1,00

0,00

0,00

1,00

-
1,00


Пример 3.2.

Транспонирование массива
F
.

Размерность транспонируемого массива 3×3.

Размерность результата
транспонированного массива 3×3
.

Выделим диапазон результата: 45:H47
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
ТРАНСП

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.


В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 1


5

2

1

1

8

1

2

1

6



4 Умножение массивов
(
НЕ ПУТАТЬ С УМНОЖЕНИ
ЕМ МАТРИЦ
!)
.

Ф
ормула Exce:
 массив1массив2 …

Перемножать можно только массивы одной размерности. Результ
и
рующий
массив произведение имеет ту же размерность, что и множители.

Значение элемента произведения с индексом 
i,j
 равно произведению
элементов множителей с индексами 
i,j
).


Пример 4.1.

Найдем произведение массивов
A
*
B
.

Размерность множителей и результата 3×
2
.

Выделим диапазон результата: A56:B58
;

2

-
1

0

2

1

0



46

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
= mA*mB

;


н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 1


2

0

-
2

3

0

-
4


Пример 4.2.

Найдем произведение массивов
A * B * C
.

Размерность множителей и результата 3×2
.

Выделим диапазон результата: 56:G58
;

з
апишем в выделенном
диапазоне формулу:
= mA*mB*mC

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 1








5 Деление массивов
(
ДЛЯ МАТРИЦ ТАКОЙ ОПЕ
РАЦИИ НЕ
СУЩЕСТВУЕТ!
)
.

Ф
ормула Exce:
 массив1/массив2/массив3 …

Делить можно только массивы одной размерности. Частное
результ
и
рующий массив имеет ту же размерность.

Значение элемента частного с индексом 
i,j
 равно частному от посл
е
довательного деления элемента с индексами 
i,j
 первого массива делимого
на элементы делителей с индексами 
i,j
).


Пример 5.1.
Найдем частное массивов
A / B
.

Размерность делимого, делителя и результата 3×2

Выделим диапазон результата:

A63:B65
;

з
апишем в выделенн
ом диапазоне формулу:
= mA/mB

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2







Пример 5.2.

Найдем частное массивов
B / A
.

Размерность делимого, делителя и результата 3×2
.

Выделим диапазон результата: 63:E65
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
= mB/mA

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

6

0

-
6

12

0

-
20

0,5

0

-
0,5

0,333333

0

-
0,25



47



Рисунок 2


В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2


2

#ДЕЛ/0!

-
2

3

#ДЕЛ/0!

-
4



48

В ячейках E63 и

65 появилась запись: #EL/0!

Действительно, значение
делителя для этих ячеек равно нулю, деление невозможно.


Пример 5.3.

Найдем частное массивов
A/B/C
.

Размерность делимого, делителя и результата 3×2
.

Выделим диапазон результата: G63:H65
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
= m
A
/m
B
/mC

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2


0,166667

#ДЕЛ/0!

-
0,166667

0,083333

0

-
0,05


В ячейке H63 появилась запись: #EL/0! Действительно, значение
третьего делителя для этой
ячейки равно нулю, деление невозможно.



6 Умножение матриц умножение массивов по правилу умножения
матриц
.

Ф
ормула
Excel

для двух
множителей
:
 МУМНОЖматрица1;матрица2

Правило размерностей перемножаемых матриц


число столбцов пе
р
вого множителя 
матр
ица1
 должно быть равно числу строк второго мн
о
жителя 
матрица2
)
.

Число строк произведения равно числу строк первого множителя, чи
с
ло столбцов произведения равно числу столбцов второго множителя.

Число сомножителей может быть увеличено. Результат умножения

первых двух матриц можно умножить на третью матрицу, этот результат


на четвертую и т.д. Для каждого нового множителя после первых двух д
о
бавляется оператор МУМНОЖ , новый аргумент множитель отделяется
от предыдущего результата точкой с запятой. Прав
ило размерностей должно
соблюдаться для всей последовательности множителей.

Число строк произведения равно числу строк первого множителя, чи
с
ло столбцов произведения равно числу столбцов последнего множителя.


Формула
Excel

для умножения трех матриц
:

=
МУМНОЖМУМНОЖматрица1;матрица2;матрица3


Формула
Excel

для умножения четырех матриц
:

МУМНОЖМУМНОЖМУМНОЖматрица1;матрица2;матрица3;матрица4


Пример 6.1.

Найдем произведение матриц
A
и
D
.

Размерность матрицы
A



3×2, размерность матрицы
D



2×4, умножение
возможно.



49

Размерность произведения 3×4.

Выделим диапазон результата: A73:75
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
МУМНОЖA;

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2






Пример 6.2.

Найдем произведение матриц
P

и
B
.

Размерность матрицы
P



3×3, размерность матрицы
B



3×2, умножение
возможно.

Размерность произведения 3×2.

Выделим диапазон результата:
F73:G75
;

з
апишем в
выделенном диапазоне формулу:
МУМНОЖP;B

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2








Пример 6.3.

Найдем произведение матриц
P
,
B

и
D
.

Размерность матрицы
P



3×3, размерность матрицы
B



3×2, размерность
матрицы
D



2×4, умножение возможно.

Размерность произведения 3×4.

Выделим диапазон результата: A79:81
;

з
апишем в
выделенном диапазоне формулу:

МУМНОЖМУМНОЖP;B;

;

н
ажмем три кл
авиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2










7 Обращение матрицы

Формула
Excel
:
МОБРматрица

Обращать можно только квадратные неособенные
матрицы.

Разме
р
ность результата равна размерности исходной обращаемой матрицы.


Пример 7.1.

Обратить матрицу
P
.

Размерность матрицы
P



3×3, размерность результата


3×3.

1,00

2,00

3,00

4,00

3,00

3,00

3,00

3,00

-
4,00

-
5,00

-
6,00

-
7,00

1

0,5

1,6

2,4

1,2

2,4

3

4,5

6

7,5

11,2

15,2

19,2

23,2

10,8

14,4

18

21,6



50

Выделим диапазон результата: A87:C89
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:
МОБРP

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2









Пример 7.2.

Обратить матрицу
F
.

Размерность матрицы
F



3×3, размерность результата


3×3.

Выделим
диапазон результата: E87:G89
;

з
апишем в

выделенном диапазоне формулу:
МОБР

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2




0,221698

-
0,018868

-
0,070755

-
0,051887

0,132075

-
0,004717

-
0,028302

-
0,018868

0,179245



8 Вложение функций


Пример 8.1
.
Протранспонируем произведение сумм массивов, найдем
.

Размерность транспонируемого массива равна размерности слагаемых, т.е.
3×2.

Размерность результата будет равна 2×3

Выделим диапазон результата: A98:C99
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:

=
ТРАНСП
((mA
-
mB+mC)*(mA+mB))

;

н
ажмем

три

клавиши

Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2



6

0

2

-
1

8

0


Пример 8.2
.
Найдем произведение транспонированной матрицы
A

на матр
и
цу
P
и матрицу
A
, т.е. найдем

.

Р
азмерность произведения матриц

равна 2×2

действительно,
имеем ряд размерностей матриц
-
множителей 2×33×33×2, ра
змерность
произведения


первый и последний элементы этого ряда


2×2

2

0

0

0

1,25

0

0

0

1,666667



51

Выделим диапазон результата:

A105:B106
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:

МУМНОЖМУМНОЖТРАНСПA;P;A

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазо
на
-
результата появятся числа
рис. 2



1,3

-
0,8

-
0,8

1,4


Пример 8.3.
Обратим произведение транспонированной матрицы
A

на ма
т
рицу
P

и матрицу
A
, т.е. найдем
.

Р
азмерность обращаемой матрицы

и результата равна 2×2

действ
и
тельно, имеем ряд размерностей матриц
-
множителей 2×33×33×2, разме
р
ность произведения


первый и последний элементы этого ряда


2×2
.


Выделим диапазон результата: A110:B111
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:

МОБРМУМНОЖМУМНОЖТРАНСПA;P;A

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2




1,186441

0,677966

0,677966

1,101695


Пример 8.4.
Обратим произведение транспонированной матрицы
A

на ма
т
рицу
P

и матрицу
B
, т.е. найдем
.

Р
азмерность обращаемой матрицы

и результата равна 2×2

действ
и
тельно, имеем ряд размерностей матриц
-
множителей 2×33×33×2, разме
р
ность произведения


первый и последний элементы этого ряда


2×2
.


Выделим диапазон результата: A115:B116
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:

МОБРМУМНОЖМУМНОЖТРАНСПA;P;B

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного ди
апазона
-
результата появятся числа
рис. 2




7,4E
-
16

2,5

-
0,52632

-
0,78947


В левой верхней ячейке результата записано число в экспоненциаль
ной
форме.

Запись
7,4E
-
16

означает:
.


Пример 8.5.
Обратим произведение транспонированной матрицы
F

на ма
т
рицу
P
, т.е. найдем
.

Р
азмерность обращаемой матрицы

и результата равна 3×3

действ
и
тельно, имеем ряд размерностей матриц
-
множителей 3×33×3, размерность
п
роизведения


первый и последний элементы этого ряда


3×3
.




52

Выделим диапазон результата: 110:H112
;

з
апишем в выделенном диапазоне формулу:

МОБРМУМНОЖТРАНСП;P

;

н
ажмем три клавиши
Ctrl+Shift+Enter
.

В ячейках выделенного диапазона
-
результата появятся числа
рис. 2




0,44340

-
0,10377

-
0,05660

-
0,02358

0,16509

-
0,02358

-
0,11792

-
0,00786

0,29874



СОДЕРЖАНИЕ


1. Уравнивание геодезических измерений

................................
..................

3

2. Основные этапы уравнивания параметрическим
способом


..............

7

3. Составление параметрических уравнение поправок для основных

видов геодезических измерений

................................
................................
.

15

3.1.

Составление параметрических уравнений поправок в высотных
геодезических сетях

................................
................................
...............

15

3.2.

Составление параметрических уравнений поправок в
плановых
геодезических сетях


................................
................................
...............

16

4. Уравнивание нивелирной сети параметрическим способом

............

20

5. Уравнивание обратной многократной засечки по направлениям

параметрическим способом

................................
................................
..........

29

ЛИТЕРАТУРА


................................
................................
...............................

39

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Использование электронных таблиц Micoof Exce
l
для вычислений с массивами и матрицами

................................
...................

40







Теория математической обработки геодезических измерений

Методические указания

Уравнивание геодезических измерений

параметрическим способом

для студентов
III

курса геодезического факультета

Составители:
Федоров С.Ф., Вшивкова О.В., Швец С.В.



Приложенные файлы

  • pdf 83364659
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий